四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学 Word版含答案

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2024~2025 学年度上期树德中学高 2023 级半期考试
数学
考试时间：120 分钟 总分：150 分
命题人： 审题人：
一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有个选项是正确的，请把
正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图，在平行六面体
ABCD — A1B1C1D1
中，
M
为
AC
与
BD
的交点，若
⃗
A1B1=
⃗
a ,
⃗
A1D1=
⃗
b ,
⃗
A1A=
⃗
c
.则下列向量中与
⃗
B1M
相等的向量是( )
A．B．
C． D．
2. 若直线经过
A
(
1,0
)
, B(2,❑
√
3)
两点，则直线
的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3. 在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4. 某年 1月25 日至 2月12 日某旅游景区 及其里面的特色景点 累计参观人次的折线图如图所示，则下列
判断正确的是( )
A. 月 日景区 累计参观人次中特色景点
占比超过了 .
B. 月 日至 月 日特色景点 累计参观人
次增加了 人次.
C. 月 日至 月 日特色景点 的累计参观人
次的增长率和 月 日至 月 日特色景点 累
计参观人次的增长率相等.
D. 月 日至 月 日景区 累计参观人次的增长率小于 月 日至 月 日的增长率.
5. 如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度. 甲站在水库底面上的点
A
处，乙站在水坝斜面上的点
B
处，从
A
，
B
到直线（水库底面与水坝的交线）的距离
AC
和
BD
分别为
3m
和
4
m，
CD
的长为
2
m，甲乙之间拉紧的绳长为
❑
√
41 m
，则水库底面与水坝所成二面角的大小为( )．
水库底面
A. B. C. D.
6. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；
底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三
角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵
ABC − A1B1C1
中
AC ⊥BC
.过
A
点分别
作
AE⊥A1B
于点
E
，
AF ⊥A1C
于点
F
.下列说法正确的是( )
A. 四棱锥
C − A1B1BA
为“阳马” B. 四面体
A1C C1B1
为
“鳖臑”
C.
EF ⊥A1C
D.
EF ⊥A1B
7. 阅读下面材料：在空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方程
为 ，过点 且方向向量为 的直线 的方程为
根据上述材料，解决下面问题：直线
l
是两个平面
x − 2y+2=0
与
2x − z +1=0
的交线，
则（ ）是
l
的一个方向向量.
A.
(2,1,4)
B.
(1,3,5)
C.
(1, −2,0)
D.
(2,0 , −1)
8. 设直线系 （其中 均为参数， ），则下列命题中是假命题
的是（¯¯¯¯）
A．当 时，存在一个点与直线系 M中所有直线的距离都相等.
B．当 时，直线系 M中所有直线恒过定点，且不过第三象限.
C．当 时，坐标原点到直线系 M中所有直线的距离最大值为 1，最小值为 .
D．当 时，若 ，则点 到直线系 M中所有直线的距离不小于 1.
二、选择题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得
6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.
9. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居
民生活用水定额管理
¿
即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过
a
的部分按照平价收费，超过
a
的部分
按照议价收费
¿.
为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了
40
位居民某年的月均用水量
¿
单位：吨
¿
，
按照分组
[
0,0.5
)
,
[
0.5,1
)
,,⋯,
[
3,3.5
)
制作了频率分布直方图，
下列命题正确的有（ ）.
A. 设该市有
6 0
万居民，则全市居民中月均用水量不低于
3
吨的人数恰好有 3万人.
B. 如果希望
86 %
的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量
a
(吨)的最低标准的估计值为 2.7．
C. 该市居民月均用水量的平均数的估计值为 1.875 吨.
D. 在该样本中月均用水量少于 1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于 0.5 吨的概率
为0.4.
10.以下四个命题为真命题的有（¯ ¯¯）.
A．过点 且在 x轴上的截距是在 y轴上截距的 4倍的直线的方程为 .
B．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为.
C．直线
x+y − 1=0
与直线
2x+2y+1=0
之间的距离是 .
D．点 P在直线
l:x − y −1=0
上运动，
A(2,3), B (2,0)
，则
¿PA∨−∨PB∨¿
的最大值是
❑
√
5
.
11. 在棱长为 2的正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，
M
为棱
CD
的中点，
N
为线段
BM
上的动点（含端点），则
下列选项正确的有（¯¯¯¯）
A．若直线
A1M
与直线
AN
所成角为 ，则 的最大值为 .
B．若点
N
到平面
ABC1D1
的距离为
d
，则
d+CN
的最小值为 .
C. 若在该正方体内放入一个半径为 的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是.
D. 点
T
从
B
点出发匀速朝
D1
移动，点
S
从
A
点出发匀速朝
A1
移动. 现
S、T
同时出发，当
S
到达
A1
时，
T
恰好在
B D1
的中点处. 则在此过程中，
S、T
两点的最近距离为 .
三、填空题:本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12. 已知入射光线通过点
A(2,3)
，经直线
x+y+1=0
反射，其反射光线通过点
B(1,1)
，则入射光线所在直线
的方程为 .
13. 已知三棱锥
P − ABC
，如图所示，
G
为
△ABC
重心，点
M
，
F
为
PG
，
PC
中点，点
D
，
E
分别在
PA
，
PB
上，
⃗
PD =m
⃗
PA
，
⃗
PE=n
⃗
PB
(
mn ≠0
)
，若
M
,
D
,
E
,
F
四点共面，则
.
14. 甲、乙、丙、丁 4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i的方框表示第 i场比赛，方框中是进行
该场比赛的两名棋手，第 i场比赛的胜者称为“i的胜者”，负者称为“i的负者”，第 6场为决赛，获胜的
人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 .
四、解答题:本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（13 分）如图，已知平行六面体 的底面
是菱形， ,且 .
(1)证明： ；
(2)若 平面 ，求的长．
16.（15 分）班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球 3个，黄球 2个.
(1) 如下两种方案，哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．
方案一：依次无放回地抽取 2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次有放回地抽取 2个球，若颜色相同，则获得奖品．
(2) 还剩最后一个奖品时，甲乙两位同学都想获得. 于是他们约定：轮
流从纸箱中有放回地抽取一球，谁先抽到黄球，谁获得奖品；如果 3
轮之后都两人都没有抽到黄球，则后抽的同学获得奖品. 如果甲先抽，
求甲获得奖品的概率.
M
D
C
C
1
A
B
A
1
B
1
D
1
S
T
N
17.（15 分）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，垂足为G，G在
上，且 ， ， ，E是BC 的中点，四面体 的体积为 ．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求点D到平面 的距离；
(3)若F点是棱 上一点，且 ，求的值．
18. （17 分）男子 10 米气步枪和女子 10 米气步枪在1984 年被列为奥运会比赛项目。根据国际射联的要求，
10 米气步枪靶纸为总边长80 毫米的正方形，直径最大的 1环，直径为45.5mm，而最高10.9 环的靶心点，
直径仅有0.5mm.
为了了解某校射击选手甲的训练水平，甲按照比赛要求进行了 15 次射击训练，命中的环数如下：
射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
命中环数9.4 9.5 10.2 9.1 9.2 8.9 10.1 9.3 9.4 9.6 9.3 9.3 10.1 9.5 5.0
(1)如果命中 10 环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.
①用以上数据估计甲每次射击“命中靶心”的概率；
② 现发现一架小型无人机悬停在训练区域的上空（训练区域禁止无人机飞行），甲准备将其击落. 假设
甲每次射击能击中该无人机的概率为①中所求其“命中靶心”的概率，每次射击互不影响. 则甲至少需要进
行几次射击，才能有
90 %
以上的概率能击落该无人机（该无人机被击中一次即被击落）？
(2) 经计算得甲这次训练命中环数的平均数 ，标准差
，其中 为第 次射击命中的环数， ， ， ， ．
第15 次射击时，由于甲受到了明显的干扰，导致结果偏差较大. 为了数据分析更加客观准确，教练剔除了这
次的成绩. 求剔除数据后，甲命中环数的平均数和方差 精确到 ．
(参考数据 ， )
19．（17 分）如图①所示，矩形 中， ， ，点 M是边CD 的中点，将 沿AM 翻折
到 ，连接 PB，PC，得到图②的四棱锥 ，N为PB 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求直线 BC 与平面 所成角的大小；
(3)设 的大小为 θ，若 ，求平面 和平面 夹角余
弦值的最小值．
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