湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷 Word版含答案

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湖北省部分重点中学 2025 届高三第一次联考
高三数学试卷
考试时间：2024 年11 月11 日下午 14:00-16:00 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.已知角 ， 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 在区间 上有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.将正奇数按照如图排列，我们将 3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（
）
A.55 B.77 C.91 D.113
7.已知等腰梯形的上底长为 1，腰长为 1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，
则该几何体表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A. 为奇函数 B. 为奇函数
C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知正实数 ， 满足 ，则 的可能取值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两
点.的内心为 ， 的内心为 ，则下列说法正确的有（ ）
A.双曲线的离心率为 2
B.直线 的斜率的取值范围为
C. 的取值范围为
D.
11.在正三棱锥 中， ， ，三棱锥 的内切球球心为 ，顶点 在底
面 的射影为 ，且 中点为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.三棱锥 的体积为 3
B.二面角 的余弦值为
C.球 的表面积为
D.若在此三棱锥中再放入一个球 ，使其与三个侧面及内切球 均相切，则球 的半径为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知点 在抛物线 上， 为抛物线的焦点，直线 与准线相交于点 ，则线段 的
长度为_____.
13.已知直线 与曲线 相切，则实数 的值为_____.
14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公
室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不
带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为 ，不下雨的概率均为 ，且与过去情况相互独立.现在两
把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知数列 为等比数列，数列 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求 .
16.（15 分）
如图，在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，将 沿 折成直二面角 ，求直线
与平面 所成角的正弦值.
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