江西省南昌市2021届高三下学期一模考试理科数学试题 （答案）

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— 高三理科数学（模拟一）答案第1页—
z
y
x
E
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
NCS20210607 项目第一次模拟测试卷
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D C C D A B B A B C
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．
13．
5
14．
160
15．
0.817
16．
8 2
3
三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17.【解析】（Ⅰ）设
{ }
n
a
的公差为
d
，因为
1 4 13
, ,
a a a
成等比数列，
所以
2
3(3 12 ) (3 3 )
d d
  ，即 2
2 0
d d
 
， ………………………2分
解得
0
d
（舍去）或
2
d
， ………………………4分
所以
2 1
n
a n
 
； ………………………6分
（Ⅱ）
1 1 1 1
( )
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1
n
bn n n n
 
 
， ………………………8分
所以
1 1 1 1 1 1
(1 ... )
2 3 3 5 2 1 2 1
n
S
n n
   
 
……………………10 分
1 1
(1 )
2 2 1 2 1
n
n n
 
 
. ……………………12分
18.【解析】（Ⅰ）因为侧面
1 1
AA C C
是矩形，所以
1
AC CC
， ……………………1分
又由条件
AC
BC
，1
BC CC C
，所以
AC
平面
1 1
CC B B
，
1
BB
平面
1 1
CC B B
，所以
1
AC BB
， ……………………3分
又因为侧面
1 1
BB C C
是菱形， 1
60
B BC
 
，
D
是
1
BB
的中点，所以 1
BB CD
， ……………………5分
且
AC CD C
，所以 1
BB
平面
ACD
. ……………………6分
（Ⅱ）因为
AC
平面
1 1
CC B B
，所以平面 1 1
BB C C
平面
ABC
，
如图以
C
为原点，
,
CA CB
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，过点
C
在平面内
1 1
BB C C
且垂直
CB
的直
线为
z
轴，建立空间直角坐标系
C xyz
，则
(2,0, 0)
A，
1 1
(0, 2,0), (0,1, 3), (0, 1, 3)
B B C ，
3 3
(0, , )
2 2
D，
1 1
(2, 1, 3)
CA CA CC  
 
，所以
E
(1,0, 3)
…8分
平面
ACD
的一个法向量为 1
(0, 1, 3)
BB  
，
设平面
ECD
的法向量
( , , )
n x y z
，
( , , ) (1,0, 3) 0 3 0
n CE x y z x z
  
 
，
— 高三理科数学（模拟一）答案第2页—
3 3
( , , ) (0, , ) 0 3 0
2 2
n CD x y z y z
 
 
，
令
1 3, 3 (3,1, 3)
y z x n  
，（两平面法向量各一分） ……………11分
所以 1
4 2 13
cos ,
13
2 9 1 3
n BB
  
 
 
，
所以所求二面角的余弦值为
2 13
13
． ……………………12分
19. 【解析】（Ⅰ）
2
b
时，
2
( ) ( 2)e ( 1)
2
xa
f x x x
 
，
( ) ( 1)e ( 1) ( 1)(e )
x x
f x x a x x a
 
， ……………………2 分
因为
0
a
，所以：
①若
ln 1
a
即
0 e
a
 
时，由
( ) 0
f x
得
ln 1
a x
 
，
由
( ) 0
f x
得
1
x
或
ln
x a
；
②若
ln 1
a
即
e
a
时，
( ) 0
f x
得
1 ln
x a
 
，
( ) 0
f x
得
1
x
或
ln
x a
；
③若
ln 1
a
即
e
a
时，
( ) 0
f x
恒成立， （每步讨论各 1 分）……………………5 分
故当
0 e
a
 
时，
( )
f x
的单调减区间为
(ln ,1)
a
，单调增区间为
( , ln ), (1, )
a
 
；
当
e
a
时，
( )
f x
的单调减区间为
(1, ln )
a
，单调增区间为
( ,1), (ln , )
a
 
；
当
e
a
时，
( )
f x
在
R
上单调递增； ……………………6 分
（Ⅱ）
( ) ( 1)( )
x
f x x b e a
 
，由已知
( )
f x
在
R
上单调递增，
则
( 1)( ) 0
x
x b e a
 
恒成立，由讨论可知
1 ln
b a
 
，即
ln 1
b a
 
， ………8 分
而待证不等式为
1
a
b e
，故只需证明
1
ln 1
a
a e
  ．
证明：设 1
( ) ln 1
a
g a e a
 
，则 1
1
( ) a
g a e
a
 
， ……………………9 分
因为
( )
g a
单调递增，且
(1) 0
g
，故当
( ) 0
g a
时
0 1
a
 
；
当
( ) 0
g a
时
1
a
，即
( )
g a
在
(0,1)
单调递增，在
(1, )
单调递减，
则
( ) (1) 0
g a g
 
， 得
1
ln 1
a
a e
  ，即不等式得证． ……………………12 分
20.【解析】（Ⅰ）该同学答对
3
个题有两种情况，
第一种情况是第一类题对
1
个，第二类题对
2
个；
1
2
4
12
5
3 9
( )
4 40
C
PC
， …… 2 分
第二种情况是第一类题对
2
个，第二类题对
1
个，
2
1
4
2 2
2
5
3 1 9
4 4 40
C
P C
C
  ， ……5 分
所以概率为：
1 2
2 1
4 4
2
2 2
5 5
3 3 1
( )
4 4 4
C C
P C
C C
 
9
20
； ……………………6 分
（Ⅱ）若小明后三题选择从第一类题中抽取
1
道，从第二类题中抽取
2
道进行作答，
设后三题得分为
X
分，则
X
的所有可能取值为：
10,0,15, 25, 40, 50
，则
摘要：

—高三理科数学（模拟一）答案第1页—zyxEC1B1A1DCBANCS20210607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案DCDCCDABBABC二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．25514．16015．0.81716．823三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．17.【解析】（Ⅰ）设{}na的公差为...

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