湖北省“鄂北联考”2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析

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2024-2025 学年湖北省“鄂北联考”高二（上）期中考试数学试题❖
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点
A(0,2)
，
B(−1,0)
两点的直线的方向向量为
(k , 4)
，则 k为()
A.2 B.4 C.
1
2
D.
1
4
2.已知直线
l1:(a −3)x+2y −2=0
，
l2: 2 x+a y +1=0
，若
，则
a=¿
()
A.4 或
−1
B.4 C.
−1
D.1 或
−4
3.已知
F1
，
F2
分别是椭圆
x2
16 +y2
12 =1
的左、右焦点，点 P在椭圆上，则
△P F1F2
的周长为()
A.4 B.8 C.12 D.16
4.从长度为 1，3，6，9，10 的5条线段中任取 3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为()
A.
1
10
B.
1
5
C.
3
10
D.
2
5
5.如图，已知空间四边形 OABC， OA，BC 的中点分别为点 M， N，点 G 在线段 MN 上，且
M G
⃗
=1
3M N
⃗
，
则向量
O G
⃗
表示为()
A.
O G
⃗
=1
3O A
⃗
+1
6O B
⃗
+1
6OC
⃗
B.
O G
⃗
=1
3O A
⃗
+1
3O B
⃗
+1
6O C
⃗
C.
O G
⃗
=1
3O A
⃗
+1
3O B
⃗
+1
3O C
⃗
D.
O G
⃗
=1
6O A
⃗
+1
3O B
⃗
+1
3O C
⃗
6.已知
P(A)=0.3
，
P(B)=0.4
，下列说法①若
A ∩ B=⌀
，则
P(A∪B)=0.7 ;
②若
A ∩ B≠ ⌀
，则
P(A∪B)=0.58;
③若
A⊆B
，则
P(A B)=0.12 ;
④若事件 A，B相互独立，则
P(A B)=0.12 ;
⑤若事件
A，B相互独立，则
P(A∪B)=0.58;
正确的有()
A.①②④ B.①④ C.①③⑤ D.①④⑤
7.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”
A − B C D
中，
A B⊥
平面 BCD，且
A B=B C=C D=2
，M为AD 中点，则异面直线 CM 与AB 所成角的余弦值为()
A.
√
2
4
B.
1
3
C.
√
2
3
D.
√
3
3
8.已知 M、N为椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
上关于坐标原点 O对称的两点，c为椭圆的半焦距， P 为平面上
一点，且
P M
⃗
⋅P N
⃗
=0
，
¿O P∨¿c
，椭圆的左、右顶点分别为 A、B，若
N M
⃗
⋅A B
⃗
=2a c
，则椭圆的离
心率为()
A.
√
2
2
B.
√
3
2
C.
√
3−1
D.
√
5−2
二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，
部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.一个袋子中装有大小和质地相同的 4个球，其中有 2个红色球
¿
标号为 1和
2¿
，2个绿色球
¿
标号为 3和
4¿
，从袋中不放回的依次随机摸出 2个球.设事件
A=¿
“第一次摸到红球”，
B=¿
“第二次摸到红球”，
C=¿
“两个球颜色相同”，
D=¿
“两个球颜色不同”，则下列说法正确的是()
A.事件 A与事件 B互斥 B.事件 C与事件 D对立
C.事件 A与事件 C相互独立 D.事件 B与事件 D相互独立
10.下列说法正确的有()
A.经过点
P(2,3)
，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
x+y − 5=0
B.已知圆
C:x2−2x+y2−2y− 4=0
关于直线
l:a x+b y −1=0(a b>0)
对称，则
1
a+4
b
的最小值是 9
C.点
M(x , y )
在圆
O:x2+y2=4
上运动，点
N(3,4)
到点 M的最小距离为 3
D.若直线
l:x − y +m=0
与曲线
C:x=
√
4− y2
有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是
¿
11.已知正方体
A BC D− A1B1C1D1
中，三棱锥
C − B1C1D1
的体积为
4
3
，线段
C C1
，BC 的中点分别为
E，F，动点 M在直线
A1B
上，动点 N在下底面
A1B1C1D1
内
¿
含边界
¿
，且
E N=A A1
，则()
A.三棱锥
M − D E F
的体积为定值
B.动点 N的轨迹长度为
√
3π
2
C.不存在点 N，使得
E N ⊥
平面 DEF
D.点N到平面 DEF 的距离的最大值为
√
15+2
6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.已知曲线
x2
12− m +y2
m− 4=1
表示椭圆，则 m的取值范围为__________.
13.已知点
A(2,3)
，
B(0,0)
，动点 P在直线
x − y − 1=0
上，则
¿P A∨+¿P B∨¿
的最小值为__________.
14.若 A， B 是平面内不同的两定点，动点 P 满足
¿P A∨¿
¿P B∨¿=k¿¿ ¿
且
k ≠ 1¿
，则点 P的轨迹是一个
圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标
系xOy 中，已知点
A(0,3)
，圆
C:¿
若圆 C上存在点 M，使
¿M A∨¿2∨M O∨¿
，则实数 a的取值范围是
__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
¿
本小题 13 分
¿
已知
△A B C
的点
C(0,3)
，边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程为
x+5y − 4=0
，边 AC 上的高 BN 所在的
直线方程为
4x −3y+5=0.
(1)
求顶点 A的坐标;
(2)
求直线 AB 的方程.
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