广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级春学期开学调研考试数学参考答案0208

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1
广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级春学期开学调研考试
数学参考答案与解析
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
A
A
C
C
D
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
题号
9
10
11
12
答案
AC
AB
BC
ABC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 4045 14.
 
2403 ，
15.
16.56；
 
21
3
2
3
nn
详细解答
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.【答案】D
因为
 
{ | 6 +3 0 }Ζ  ，A x x x x
，
 
2,0,1,2 B
，则
 
2,0,1, 2 A B
．故选 D．
2.【答案】C
(1 i) 1 i  z
，
1 i (1 i)(1 i) i
1 i (1 i)(1 i)
 
 
 
z
，
i  z
，
z
的实部为 0．故选 C．
3.【答案】A
若直线 3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，
则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，
经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行．故选 A．
4.【答案】A
根据正弦定理有
sin sin
BC AC
A B
，则
3 2
sin 23
sin
2
1
2
BC B
AC A
 
．故选 A．
5.【答案】A
因为直线
AB
过焦点
F
，所以
1 1 1
| | | |AF BF
 
，
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2
所以
1 1 2 | | | |
| | 2 | | (| | 2 | |) ( ) 3 3 2 2
| | | | | | | |
BF AF
AF BF AF BF AF BF AF BF
   
，
当且仅当
2 | | | |
| | | |
BF AF
AF BF
时，等号成立．故选 A．
6.【答案】C
由题意知讲座
A
只能安排在第一或最后一场，
有
1
22 
种结果，
讲座
B
和
C
必须相邻，
共有
4 2
4 2 48 
种结果，
根据分步计数原理知共有
2 48 96 
种结果．故选 C．
7.【答案】C
设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为
1 2 3
, ,A A A
，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为
B
，
则
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A P A P B A 
2 1 2 4 1 3 2 13 5
5 6 5 6 5 6 5( 6) 12
x x
x x x x
 
   
 
，
解得
6x
，则
x
的最大值为 6．故选 C．
8.【答案】D
根据题意，正实数 a，b满足
a b
且
ln ln 0 a b
，则有
1a b 
或
0 1b a 
，
依次分析选项：
对于 A，无论
1a b 
或
0 1b a 
，都有
log 0
1
ab
，所以 A错误；
对于 B，
1 1 1
( ) ( )
a b ab
a b a b a b
b a ab ab
 
   
，
当
0 1b a 
时，
1 1
+ 0a b b a
 
，即
1 1
a b b a
 
，所以 B错误；
对于 C，因为
1 ( 1)( 1) 0ab a b a b 
，所以
1ab a b 
，所以
1
3 3
ab a b 
，即 C错误；
对于 D，由
1 1b a
a b
 
，两边取自然对数，得
( 1)ln ( 1) ln  b a a b
，
因为
( 1)( 1) 0a b  
，所以
ln ln
1 1
 
a b
a b
，
设
ln
( ) 1
x
f x x
，
 
0,1 1, x
，则
2
1
1 ln
( ) ( 1)
 
 
x
x
f x x
，
设
1
( ) 1 ln  g x x
x
，
 
0,1 1, x
，则
2 2
1 1 1
( ) x
g x x x x
 
，
当
(0,1)x
时，
( ) 0g x 
，
( )g x
单调递增，当
(1, )x 
时，
( ) 0g x 
，
( )g x
单调递减，
所以
( )g x g
(1)
0
，所以
( ) 0f x 
，则
( )f x
在
(0,1)
和
(1, )
上都是单调减函数，
所以
f
(a)
f
(b)，即选项 D正确．
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3
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9.【答案】AC
选项 A：将 3，3，8，4，2，7，10，18 由小到大排列为 2，3，3，4，7，8，10，18，第 50 百分位数即为
中位数，这组数的中位数为1
2×(4＋7)＝5.5．
选项 B：由数据
1
x
，
2
x
，
…的平均数为 2，方差为 3，则数据
1
2 1x
，
2
2 1x
，
…的平均数为 2×2＋1＝5，
方差为 22×3＝12．
C正确．
选项 D中，样本的相关系数应满足－1≤r≤1，故 D错误．
10.【答案】AB
A选项，
解法一：
由
(1,1)A
，
(4,2)B
，则其中点为
)
2
3
,
2
5
(M
，所以
2
10
1
2
3
1
2
522
MAr
，
则圆 M的标准方程为
2 2
5 3 5
2 2 2
x y
 
 
 
 
，化为一般式方程为
2 2 5 3 6 0x y x y  
①，
又圆 C的一般式方程为
2 2 8 2 13 0x y x y  
②，
①－②得
3 7 0x y  
为两圆相交弦所在的直线方程．
解法二：
以
(1,1)A
，
(4,2)B
为直径的圆的方程为
02)1)((4)1)(( yyxx
，即
2 2 5 3 6 0x y x y  
①，
又圆 C的一般式方程为
2 2 8 2 13 0x y x y  
②，
①－②得
3 7 0x y  
为两圆相交弦所在的直线方程．
B选项，
解法一：
由图可得
BPAC
，所以
2
3
31
2
1
2
1
ACBPS ABP
．
解法二：
由直线 AB 的方程为
023 yx
，则点 P到直线 AB 的距离
10
103
10
294
d
，
2
3
2
1dABS PAB△
．
对于 C选项，
由图可知设过点 B且与圆 C相内切的圆心为 Q，且切点为 D，
则
12 BCRCDQCQDQCQB
满足椭圆定义，
故圆心 Q的轨迹为椭圆．
对于 D选项，
设P(x,y)，
     
5
2
3
2
5
22411
22
2222
22
yxyxyxPBPA
，
则
22
2
3
2
5
yx
可转化为圆 C上动点 P(x,y)到定点
2
3
2
5,
的距离的平方，
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