广东省深圳市罗湖区部分学校2023-2024学年高三上学期开学模拟考试（质量检测一）数学答案

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2023—2024 学年高三质量检测（一）
数学参考答案
一、选择题本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
D
A
C
B
B
二、选择题本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号
9
11
答案
AB
ACD
三、填空题本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．
14． 15．
16．
󰅹󰅹
四、解答题本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
解：（1）设该等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由已知得
， ............................................................................................................... 2分
因为数列为正项数列，为正项递增数列，
所以，， ........................................................................................................................... 4分
所以， ． .............................................................. 6分
（2）由已知得󰅹󰅹
为奇数
󰅹󰅹
为偶数
， ............................................................................................ 7分
所以数列的前项和为
 
 ........................................................................... 8分



． .................................................................................................................................. 10 分
18．（12 分）
证：（1）∵底面为正方形，
∴， ....................................................................................................................................... 1 分
又∵，,󰅹󰅹平面， ................................................................... 3 分
∴平面， .............................................................................................................................. 4 分
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第2页 共5页
∵平面， ........................................................................................................................... 5 分
∴平面平面． ................................................................................................................. 6 分
解：（法一）（2）取中点为，连结，
∵在△
中，，
∠
°，
∴,△
为等边三角形．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面， ........................................................................................................................... 7 分
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为 2，
∴，，󰅹󰅹󰅹󰅹，󰅹󰅹󰅹󰅹，󰅹󰅹󰅹󰅹，
∴
󰅹󰅹󰅹󰅹，
󰅹󰅹󰅹󰅹， ............................................................................ 9分
设平面的一个法向量󰅹󰅹󰅹󰅹，
则

，即
，
令，则，，
∴󰅹󰅹󰅹󰅹， ..................................................................................................................... 10 分
由（1）可知平面的一个法向量󰅹󰅹󰅹󰅹， .................................................................. 11 分
设平面与平面的夹角为，
则

 
，
∴平面与平面夹角的余弦值为
． ................................................................................ 12 分
（法二）（2）设平面与平面的交线为，
∵，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，，
∵平面与平面有一个交点，
∴为过点且与平行的一条直线，如下图， .............................................................................. 7 分
取中点为，取中点为，连结，，，
∵底面四边形为正方形，󰅹󰅹分别为󰅹󰅹的中点，
∴，
又∵平面，
∴平面， ............................................................................................................................. 8 分
∵平面，
P
A
B
C
D
(第18 题图 1)
O
y
z
x
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