吉林省吉林市2023届高三下学期第四次调研测试 数学参考答案（数学）

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高三数学试题答案 第 1页 （共 8页）
吉林市普通中学 2022—2023 学年度高三毕业年级第四次调研测试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
D
A
A
B
B
二、多项选择题：本大题共 4小题，共 20 分．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0
分．
教学提示：4．选项 D，可以参考人教 A版选择性必修三第
82~81
页，探究与发现《二项分布的性
质》，研读如何利用分布列的表达式研究
k
P
的增减变化及最大值，并掌握当
Pn )1(
为
正整数及非正整数时
k
的取值情况．
5. ①针对函数
，了解函数图象的变化情况（指导学生阅读人教 A版选择性
必修二第 68 页例 4和第 89 页例 4），体会极值点左侧图象“陡峭”，右侧图象“平缓”，
如图所示：
)
3
()3(
2
e
ff
②利用极值点偏移，对于函数
x
xln
xf )(
，当
)()( 21 xfxf
且
21 xx
时，
2
21 exx
.
设
)()
3
(0
2
xf
e
f
且
3
2
0
e
x
则
2
2
03e
e
x
)3()
3
()3()(3
2
00 f
e
ffxfx
补充：程度较好的学生熟练掌握六种经典函数图象（单调性、极值点、零点）：
x
x
x
e
x
y,
xln
x
y,
x
e
y,
x
xln
y,xey,xlnxy
7．法一：由杨辉三角中观察得可得
2010631
.
推广，得到
3
2
2
1
2
4
2
3
2
2nn CCCCC
即
3
2
2
)1(
2
43
2
32
2
21
n
C
nn
由题意，
2021
层“刍童垛”小球的总个数为
)1(2
20232022544332
3
2024
C
S
法二：指导学生阅读人教 A版选择性必修二第 42~43 页，阅读与思考《中国古代数学家求数列
和的方法》.可以结合人教 A版选择性必修三 39~42 页数学探究《杨辉三角的性质与应用》，探
索堆垛问题以及高阶等差数列的求和方法.
由已知顶层
6
个圆球，设为
32
1a
，向下每边依次加
1
个，
第
n
层
23)2()1( 2nnnnan
个.
利用分组求和法，得到
n
层“刍童垛”小球的总个数为
9
10
11
12
AC
AD
AD
ABC
高三数学试题答案 第 2页 （共 8页）
22
2
3
)3)(2)(1(
2
3
]65)[1(
222)1(
2
3
6
)12)(1(
2)21(3)21(
23)2232()2131(
2
3
2
222
222
n
n
C
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
nnS
即
2021
层“刍童垛”小球的总个数为
22 3
2024 CS
.
11．统计数据来源于国家统计局网站，选项的命制主要根据网站公布数据的解释说明．为使学生深
刻体会数学的实用性，结合本题的实际特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会
合理使用统计图表的重要性．
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．其中第 16 题的第一个空填对得 2分，第二
个空填对得 3分．
13．
3
14．
1
15．
2
1
16．
6
；
]
3
364
3
332
[,
（注：可以用不等关系表示）
教学提示：16．过
P
作
PH
平面
ABC
垂足为
H
,则
3060 PBH,PAH
3
3
3
BH
PH
PBHtan,
AH
PH
PAHtan
AHBH 3
H
点轨迹是半径为
3
的圆（阿波罗尼斯圆），即轨迹长为
6
易知
]3432[3]42[ ,AHPH,AH ，
3
364
3
332
3
16
)84
2
1
(
3
1,PHPHV
四 、解答题
17．【解析】
（Ⅰ）由
b
ac
Asin 26
）（
，得：
acAcosbAsinb 3
由正弦定理，得
AsinBAsinAsinCsinBsinAcosBsinAsin ）（3
整理得：
AsinBcosAsinBsinAsin 3
因为
0Asin
，所以
13 BcosBsin
··································································· 3 分
两边平方得，消
Bsin
，得
012 2BcosBcos
解得:
2
1
Bcos
或
1Bcos
（舍去）
又
)0(
,B
，所以
3
B
························································································ 5 分
（也可化简为
2
1
)
6
(
Bsin
求得
B
）
（Ⅱ）法一：
高三数学试题答案 第 3页 （共 8页）
因为
2
1
2
222
ac
bca
Bcos
且
332 Bsinb
所以：
acca 9
22
····························································································· 7 分
所以
9
4
3
93 22 ）（）（ caacca
所以
6ca
，当且仅当
3ca
时，取“
”号
所以△
ABC
的周长
9cba
，
即当
3ca
时，△
ABC
的周长最大值为
9
······························································ 10 分
法二：
设△
ABC
的外接圆半径为
R
，
因为
R
Csin
c
Bsin
b
Asin
a2
，
所以
AsinAsinRa 322
，
32 BsinRb
，
AsinAcosAsinABsinCsinCsinRc 33
3
3232322 ）（）（
······ 7 分
所以△
ABC
的周长
AsinAcosAsincba 33332
3333 AsinAcos
3
6
6）（
Asin
因为
）（ 3
2
0π
,A
，所以
）（ 6
5
66
π
,
π
A
当
3
A
时，
）（ 6
Asin
的最大值
1
，此时△
ABC
的周长的最大值为
9
························10 分
（注：没有写清取等条件扣 1分）
18．【解析】
（Ⅰ）对于有放回抽检，每次抽到混合动力汽车的概率为
4
1
，且各次抽检结果是独立的，
设
1
X
为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则
)
4
1
,2(~
1BX
，
1
X
可取
2,1,0
，
16
9
)
4
3
()0( 2
1XP
；
8
3
4
1
4
3
)1( 1
21 CXP
；
16
1
)
4
1
()2( 2
1XP
.
1
X
的分布列如下：
1
X
0
1
2
P
16
9
8
3
16
1
则
2
1
16
1
2
8
3
1
16
9
0)( 1XE
········································································ 4 分
对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立，设
2
X
为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则
2
X
服从超
几何分布，
2
X
可取
2,1,0
，
476
267
)0( 2
120
2
90
2
C
C
XP
；
476
180
)1( 2
120
1
90
1
30
2
C
CC
XP
；
476
29
)1( 2
120
2
30
2
C
C
XP
.
2
X
的分布列如下：
2
X
0
1
2
P
476
267
476
180
476
29
则
2
1
476
29
2
476
180
1
476
267
0)( 2XE
.······························································· 8 分
注：也可按照下面步骤作答.
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