山东省青岛市2021届高三下学期5月自主检测数学试题答案

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数学评分标准第 1页（共 6页）

青岛市 2021 年高三自主检测

数学参考答案及评分标准

一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。

1--8：D A D C B C A D

二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。

9．ACD 10．ABD 11．ACD 12．BC

三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分。

13．

3413

；14．



；

15．

240

；16．

  

 

．

四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分 10 分）

解：(1)在直四棱柱

1111 DCBAABCD 

中，



11CB

平面

11 AABB

因为

BE

平面

11 AABB

，所以



11CB

又因为

ECBE 

，

1111 CECCB 

所以

BE

平面

1 1

B C E

又因为

BE

平面

BCE

所以平面

BCE

平面

ECB 11

（2）由（1）知：

BE

平面

ECB 11

，所以

EBBE 1



在

Rt BEB

中，可求得

12BB 

以

为坐标原点，分别以

,, AAADAB

为

zyx ,,

轴，建立空间直角坐标系

A xyz

，

因为

)0,0,1(),1,0,0( BE

，所以

)1,0,1( EB

，

所以平面

ECB 11

的一个法向量为

)1,0,1( EB

因为

(1,1,0), (1,0, 2),C B

所以

(1,1, 1), (1,0,1),EC EB  

 

设平面

CEB1

的一个法向量为

( , , )n x y z



，

由













1nEB

nEC

得

x y z

x z

  



 



，令

1x

得

(1, 2, 1)n  



设二面角

CEBC  11

的平面角为



，

所以

2 3

cos 3

| | | | 2 6

n EB





  



 

数学评分标准第 2页（共 6页）

18．（本小题满分 12 分）

解：（1）由 cos ( 2 )cosc A b a C  得： 2 cos cos cosb C c A a C  ，

所以 2sin cos sin cos sin cos sin( ) sinB C C A A C A C B     ，

因为 sin 0B，所以 2

cos 2

C

因为 0 πC  ，所以 π

C

又π

A，所以 2π

B

在ABC中，由 sin sin

AB BC

C A

可得：

sin

sin 43 1

sin sin 12

BC C

AB A

    ，

因为 1AD ，所以 3BD 

在BCD中， 2π

B，

由余弦定理得： 2 2 2 2 cos 4 3CD BC BD BC BD B     

设

BCD

外接圆的半径为 R，

由2

sin

CD R

B可得： 2sin



所以 BCD外接圆的面积

π (4 3)π 4 3

π π

2π

4sin 3

S R B

  

   

（2）由（1）可知 π

C，又 2c，

由余弦定理可得： 2 2 2 2 cosc a b ab C   ，即 2 2 2 4a b ab  

因为 2 2 2a b ab  ，所以 2 2 2 4 2 2 (2 2)a b ab ab ab ab      

从而

44 2 2

2 2

ab   



(当且仅当 a b时取等号)

所以

ABC

面积

1 1 π

sin (4 2 2)sin 2 1

2 2 4

S ab C     

从而 ABC面积 S的最大值为 2 1

19．（本小题满分 12 分）

解：（1）87 90 91 92 95 91,

x   

  86 89 89 92 94 90

y   

 

公众号：潍坊高中数学

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摘要：

数学评分标准第1页（共6页）青岛市2021年高三自主检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1--8：DADCBCAD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9．ACD10．ABD11．ACD12．BC三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13．3413；14．2425；15．240；16．．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）解：(1)在直四棱柱1111DCBAABCD中，11CB平面11AABB因为BE平面11AABB，所以11CBBE又因为1...

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