湖北省襄阳市第一中学2022-2023学年高一4月月考数学试题

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试卷第 1页，总 2页
襄阳一中高一年级四月月考试题（数学）
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求）
1．已知复数 z满足
2z z i 
，则 z的虚部是（ ）
A．
1
B．1 C．
i
D．i
2．已知角θ的终边过点
 
1, 1
，
cos( )
2
 
（ ）
A．
2
2
B．
2
2
C．
1
D．1
3．已知点 D是
所在平面上一点，且满足
1
2
BD BC 
 
，则
AD
（ ）
A．
1 1
2 2
AB AC
 
B．
1 1
2 2
AB AC
 
C．
1 3
AB AC
2 2
 
 
D．
3 1
2 2
AB AC
 
4．已知
| | | | 3a b 
，
e
是与向量
b
方向相同的单位向量，向量
a
在向量
b
上的投影向量为
3
2e
，则
a
与
b
的夹角为（ ）
A．
30
B．
60
C．
120
D．
150
5．已知向量
(sin , 2), (1, cos )a b
 
 
，且
a b
，则
2
sin 2 cos
 
的值为（ ）
A．1 B．2 C．
1
2
D．3
6、已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积
为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π
7、函数
5 2sin
( ) 3 3
x x
x x
f x
(x∈[-π,0) ∪(0,π])的大致图象为（ ）
8、已知函数 g(x)=
3
sin(ωx+φ)，g(x)图像上每一点的横坐标缩短到原来的
1
2
,得到 f（x)的图像，f（x)
的部分图像如图所示，若
2
| |AB BC AB 
 
,则ω等于（ ）
A.
12
B.
6
C.
4
D.
2
二、多选题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在给出的选项中，至少有一项符合要求，选
错得 0分，部分选对得 2分。）
9．用一个平面去截正方体，则截面可能是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形
10．已知向量
(3, 4)OA  
，
(6, 3)OB  
，
(5 3 ),m mOC  
，若
ABC
为锐角，则实数
m
可能的
取值是（ ）
A．
1
2
B．
0
C．
1
2
D．
1
11.在 中，已知 ，且 ，则 c的值可以是
A. 4 B. 8 C. 2 D.
12．
中，
D
为边
AC
上的一点，且满足
1
2
AD DC
 
，若
P
为边
BD
上的一点，且满足
 
0, 0AP m AB nAC m n  
 
，则下列结论正确的是（ ）
A．
2 1m n 
B．
mn
的最大值为
1
12
C．
4 1
m n
的最小值为
6 4 2
D．
2 2
9m n
的最小值为
1
2
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．已知向量
 
1, 2 , 2,a b m  
，
a b
与
a b
垂直，则
m
__________．
14．已知扇形的周长为
6
，圆心角为
2
，则扇形面积的值是___________.
15．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1的各条棱长均为 2，D为棱 B1C1上任意一点，
则三棱锥 D－A1BC 的体积是________．
试卷第 2页，总 2页
16．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，
成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．
如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个
小正方形
EFGH
拼成的一个大正方形
ABCD
，
若直角三角形中
AF a
，
BF b
，较小的锐角
FAB
 
．
若
 
2196a b 
，正方形
ABCD
的面积为 100，
则
cos 2
________，
sin cos
2 2
 
 
________．
四、解答题（本大题共 6小题，17 题10 分，其他每题 12 分，共 70 分）
17．已知向量
)1,3(a
，
5b
，
 
15a a b 
  
.
（1）求向量
a
与
b
夹角的正切值； （2）若
 
2a b a b
 
 
，求
的值.
18．已知α∈
π
2，π，且 sin α
2＋cos α
2＝6
2.
(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－3
5，β∈
π
2，π，求 cos β的值．
19、在①3asinC＝4ccosA； ②2bsin ＝asinB 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然
后解答补充完整的题．
在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知_______，a＝3．
（1）求 sinA；
（2）如图，M为边 AC 上一点，MC＝MB，∠ABM＝ ，求边 c．
20、在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知 b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC 的面积 S＝a2
4，求角 A的大小．
21.已知函数
 
2sin 0
6
f x x t
 
 
 
 
 
,且
 
f x
的图象上相邻两条对称轴的距离为
2
,
图象过点
 
0,1
.
（1）求
 
f x
的表达式和
 
f x
的单调增区间；
（2）若函数
   
g x f x k+
在区间
5
,
12 12
 
 
 
 
上有且只有一个零点,求实数
k
的取值范围
22．（12 分）已知函数
 
sin cosf x x x 
，
   
sin 2g x x f x 
．
（1）当
π,0
2
x 
 
 
 
时，求函数
 
g x
的值域；
（2）设
 
9 1
9 1
x
x
h x
，当
 
0,x 
时，不等式
 
0
2
x
mh h x
  
 
 
恒成立，设实数
m
的取值范围对应的集合为
M
，若在（1）的条件下，恒有
 
ag x M
（其中
0a
），求实数
a
的取值范
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