山东省济南市历城第二中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 含答案

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历城第二中学 2020-2021 学年高二下学期开学考试数学试题
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1．已知数列 的通项公式为 ，则 257 是这个数列的( )
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10 项
2．已知数列 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3．若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
( )y f x
具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）
A．
siny x
B．
lny x
C．
e
x
y
D．
3
y x
4． 斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数
列 定义如下： ， （ ， ），随着 的增大， 越来越
逼近黄金分割 ，故此数列也称黄金分割数列，而以 、 为长和宽的长方形称为
“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为 200 平方厘米，则该长方形的长大约是（ ）
A. 20 厘米 B. 19 厘米 C. 18 厘米 D. 17 厘米
5．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中
国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不
同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘
的焦距为（ ）
A. B. C. D. 4
6．已知圆 ，直线 ，则直线 被圆 C 截
得的弦长的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
7.阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 (
且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为 ，动点 与
、 距离之比为 ，当 、 、 不共线时， 面积的最大值是( )
A． B． C． D．
8. 如图，在正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，点
O
为线段
BD
的中点.设点
P
在线段
上，直线
OP
与平面
1
A BD
所成的角为
，则
sin
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9．设 是等差数列， 是其前项的和，且 , ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值
10.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点
的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A（离地面最近的点）距地
面 千米，远地点 B（离地面最远的点）距地面 千米，并且
F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 千米，设椭圆的
长轴长、短轴长、焦距分别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
11.双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A. 该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为
C. 点 到两渐近线的距离的乘积为 D.若 ，则 的面积为 32
12.泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的
轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点
，直线 ，若某直线上存在点 ，使得点 到点 的距离比到直线 的距离小 1，
则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的轨迹曲线是一条线段
B．点 的轨迹与直线 是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C． 是“最远距离直线”
D． 是“最远距离直线”
三、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．已知点 P（1，2）是直线 被 所截线段的中点，则直线 的方程是________．
14．在棱长为 2 的正方体 中，E，F 分别为棱的中点，G为棱上的一
点，且 ，则点 G到平面 的距离为_________．
15．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 公差为______．
16．已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 上.存在正实数___________，使得动圆
C 中满足与圆 相外切的圆有且仅有一个.
四、解答题（17题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
17．（10 分）已知圆 C的圆心在 x轴上，且经过点 ， ．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点 的直线 l与圆 C相交于 M，N两点，且 ，求直线 l的方程．
18．（12 分）如图 1，菱形 中， ， ， 于．将 沿 翻
折到 ，使 ，如图 2．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）设 为线段 上一点，若 平面 ，求的值．
19．（12 分）张先生 2018 年年底购买了一辆1.6L轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物
吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资 1万元向中国绿色碳汇
基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000 公里就要排放 1吨二氧化碳，
林木每生长1立方米，平均可吸收 1.8 吨二氧化碳.
（1）若张先生第一年（即2019 年）会用车 1.2 万公里，以后逐年増加 1000 公里，则该轿车使用10
年共要排放二氧化碳多少吨？
（2）若种植的林木第一年（即2019 年）生长了 1立方米，以后每年以 10%的生长速度递增，问林木
至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10 年排出的二氧化碳的量（参考数据：
，，）?
20．（12 分）设数列 的前 项和为 ，已知
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
21．（12 分）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，过椭圆 的左顶点
的直线 交抛物线于， 两点，且 .
(1)求证：点 在定直线上；
(2)若直线 过点 ，交椭圆 于， 两点，交轴于点 ，且 ，当 的
面积最大时，求抛物线 的方程.
22．（12 分）已知点 ， ，曲线 任意一点 满足 .
摘要：

历城第二中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项2．已知数列中，，，则（）A.B.C.D.3．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）A．sinyxB．lnyxC．exyD．3yx4．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列定义如下：，（，），随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长...

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