辽宁省丹东市2021届高三下学期期初考试数学试题答案

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数学试题答案第 1 页（共 5 页）

2021（下）高三期初质量监测

数学试题参考答案

一、选择题

1．A

2．B

3．D

4．D

5．C

6．C

7．A

8．A

二、选择题

9．BC

10．ABC

11．AD

12．BCD

三、填空题

13．2

14．8 3π

15．144

16．2x＋y－3＝0．

四、解答题

17．解：

由9cosB＝3a＋b及余弦定理可得

9a2＋9c2－9b2＝6a2c＋2abc．

因为 c＝3，于是 3a2＋3b2＋2ab－27＝0（*）．

方案一：选条件①．

由6sinB＝5sinA和正弦弦定理得 b＝5

6a，代入（*）解得 a＝2，b＝5

3．

因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时 b＝5

3．

…………（10 分）

方案二：选条件②．

由于 ab＝4得a＝4

b，代入（*）得

3b4－19b2＋48＝0．

因为△＝192－242＜0，所以 b不存在．

因此，选条件②时，问题中的三角形不存在．

…………（10 分）

方案三：选条件③．

因为 c＝3，C＝60°，由余弦定理可得

a2＋b2＝ab＋9．

代入（*）得 ab＝0，因此，选条件②时，问题中的三角形不存在．

…………（10 分）

18．解：

（1）设事件 A：“一次性成型即合格”，设事件 B：“经过技术处理后合格”，则

P(A)＝0.6，P(B)＝(1－0.6)×0.5＝0.2．

所以得到一件合格零件的概率为

P＝P(A)＋P(B)＝0.8．

…………（4分）

（2）若一件零件一次成型即合格，则

X＝1500－800＝700．

若一件零件经过技术处理后合格，则

X＝1500－800－100＝600．

若一件零件成为废品，则

X＝－800－100＋100＝－800．

所以 X可取 700，600，－800，则

P(X＝700)＝0.6，

P(X＝600)＝(1－0.6)×0.5＝0.2，

P(X＝－700)＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2．

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X的分布列为

700

600

－800

0.6

0.2

X的数学期望为

E(X)＝700×0.6＋600×0.2＋(－800)×0.2＝380（元），

…………（12 分）

19．解法 1：

（1）由题设可得f (1)＝5＋b，f ′(1)＝b．

f (x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－a－lnx

x2．

所以a＝5＋b，1－a＝b．解得a＝3，b＝－2．

…………（6分）

（2）(ex－1)x≥xf (x)－2等价于xex－x－lnx－1≥0．

设g (x)＝xex－x－lnx－1，g′(x)＝(x＋1)(ex－1

x)．

函数 h (x)＝ex－1

x在(0，＋∞)单调递增，因为 h (1

2)＝e－2＜0，h (1)＝e－1＞0，

所以存在唯一x1∈(1

2，1)，使h (x1)＝0．

因为 g′(x)符号与ex－1

x符号相同，所以当 x∈(0，x1)时，g′(x)＜0，当 x∈(x1，＋∞)时，

g′(x)＞0．故g (x)在(0，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．因此当x＝x1时，g (x)取得

最小值g (x１)

由h (x1)＝0得

ex1＝1

x1，从而lnx1＝－x1，

故

g (x)≥g (x1)＝x1ex1－x1－lnx1－1＝0．

于是(ex－1)x≥xf (x)－2．

…………（12分）

解法 2：

（1）同解法 1．

（2）(ex－1)x≥xf (x)－2等价于elnx+x－(lnx＋x)－1≥0．

设lnx＋x＝t，去证明 g (t)＝e

－t－1≥0即可．（以下略）

解法 3：

（1）同解法 1．

（2）(ex－1)x≥xf (x)－2等价于xex－x－lnx－1≥0．

设xex＝t，去证明 g (t)＝t－lnt－1≥0即可．（以下略）

20．解法 1：

（1）因为 A，C是直径为 BD 的球面上两点，所以∠BAD＝BCD＝90º．因为 BA＝BC，

所△BAD≌Rt△BCD．

在平面 ABD 内作 AE⊥BD，垂足为 E，连结 CE，

则BD⊥平面 AEC，于是 BD⊥AC．

…………（4分）

（2）由（1）可知∠AEC 是二面角 A－BD－C的

平面角，所以∠AEC＝120º．

…………（6分）

因为 AC＝3，所以 AE＝EC＝3．因为 BA＝2，

所以∠ABD＝60º，于是 BD＝4，AD＝2 3．所以△AEC

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摘要：

数学试题答案第1页（共5页）2021（下）高三期初质量监测数学试题参考答案一、选择题1．A2．B3．D4．D5．C6．C7．A8．A二、选择题9．BC10．ABC11．AD12．BCD三、填空题13．214．83π315．14416．2x＋y－3＝0．四、解答题17．解：由9cosB＝3a＋b及余弦定理可得9a2＋9c2－9b2＝6a2c＋2abc．因为c＝3，于是3a2＋3b2＋2ab－27＝0（*）．方案一：选条件①．由6sinB＝5sinA和正弦弦定理得b＝56a，代入（*）解得a＝2，b＝53．因此，选条件①时，问题中的三角形存在，此时b＝53．…………（10分）方案二：选条件②．由于...

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