四川省遂宁市射洪中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学答案(1)

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射洪中学高 2023 级高一下期半期考试
数学参考答案
1.A2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B
【分析】首先由 DO
=2
3λAB
-1
2λAC
,λ∈R，DO ⊥AC ，结合余弦定理得出 c2=b2
2+4，进一步由
三角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得 S△ABC =1
2-1
16 b2-32
2+64 ，由此即可得解.
【详解】
因为 DO
=2
3λAB
-1
2λAC
,λ∈R，DO ⊥AC ，
所以 DO
⋅AC
=2
3λAB
-1
2λAC
⋅AC
=2λ
3cbcos∠BAC -λ
2b2=0,λ∈R，
从而 4cbcos∠BAC =3b2，即 4cb ⋅c2+b2-a2
2cb =3b2，
所以 c2+b2-4=3b2
2，所以 c2=b2
2+4，
所以 △ABC 的面积为 S△ABC =1
2bcsin∠BAC =1
2bc 1-cos2∠BAC
=1
2bc
2-bc
2b2+c2-a2
2bc
2=1
2b2c2-b2+c2-a2
2
4
=1
2b2c2-
3b2
2
2
4=1
2b2b2
2+4
-9b4
16 =1
2-b4
16 +4b2=1
2-1
16 b2-32
2+64 ≤
1
264 =4，
等号成立当且仅当 b=4 2 ,c=2 5 ，综上所述，△ABC 面积的最大值为 4. 故选：B.
9.BC 10.ABD
11.ACD
【分析】由已知利用棱锥的结构特征，球的表面积判断 A；由棱锥的结构特征判断 B；由棱锥体积判断
C；由线面角的定义求出大小判断 D.
【详解】由题意知 AC =2,BC =3，
取AC 的中点 O,由于 △ACD 和△ABC 是直角三角形且全等，故 OA =OC =OD1=OB,
故在折法①的折叠过程中,三棱锥 D1-ABC 的外接球的球心为 O,半径为 1,
故该球的表面积恒为 4π,故A选项正确；
按照折法①,在折起过程中,点D1在平面 ABC 内的投影 D1
在线段 BD 上(不包括端点),
而线段 BD (不包括端点)不存在 D1
使得 CD1
⊥AB，故不存在 D1满足 AB ⊥CD1，故 B选项错误；
按照折法②，取 BD 的中点 H，A1H=1
2，
当平面 A1BD ⊥平面 BCD 时，三棱锥 A1-BCD 体积取得最大值，
此时体积 V=1
3AH ⋅S△BCD =1
3×1
2×1
2×3
2×3
2=3
8,故C选项正确;
·1·
当A1C=2时，A1C2+A1B2=BC2，A1C2+A1D2=CD2，故此时 A1C⊥A1B,A1C⊥A1D,
又因为 A1B∩A1D=A1,A1B,A1D⊂平面 A1BD,故A1C⊥平面 A1BD,
故∠A1BC 为BC 与平面 A1BD 所成线面角,则sin∠A1BC =A1C
BC =2
3=6
3，故 D选项正确.故
选:ACD.
12.5
13. 5
8
14. 8 3
9
【分析】根据给定条件求出圆锥的内切球半径，再求出此球的内接正方体的棱长即可作答.
【详解】正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长 a最大时，正方体的外接球恰
为圆锥的内切球，设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则 r=3，πrl =6π，所以 l=2 3
如图圆锥轴截面 △SAB 为等边三角形，其内切圆 O是该圆锥的内切球 O大圆截面，

△SAB 的高 SO1=3
2SA =3，则内切圆 O的半径即球半径 R=1
3SO1=1，
于是得球 O的内接正方体棱长 a满足： 3a=2R=2，解得：a=2 3
3，
所以 a的最大值为 2 3
3⇒V
max =2 3
3
3=8 3
9.故答案为：
8 3
9.
15.(1)b
= (-2,4)或b
= (2, -4)(2)1
8
【详解】(1)由a
⎳b
，设 b
=λa
= (-λ,2λ)，b
=2 5 ，∴λ2+(2λ)2=2 5 ，
∴λ=±2，∴b
= (-2,4)或b
= (2, -4).
(2)a
=5，b
=2 5 ，∵ (5a
+b
)⊥(a
-b
)，∴ (5a
+b
)⋅(a
-b
) = 0，
∴5a
2-4a
⋅b
-b
2=0，∴a
⋅b
=5
4.设a
与b
的夹角为 θ，则 cosθ=a
⋅b
|a
||b
|=
5
4
5×2 5 =1
8.
∴a
与b
的夹角 θ的余弦值为 1
8.
16.(1)证明见解析 (2)证明见解析
【详解】(1)如图，取 DC 的中点 Q，连接 MQ，NQ.
因为 N，Q分别是 PC ，DC 的中点，所以 NQ ⎳PD.
因为 NQ ⊄平面 PAD，PD ⊂平面 PAD，所以 NQ ⎳平面 PAD.
因为 M是AB 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形，所以 MQ ⎳AD.
又MQ ⊄平面 PAD，AD ⊂平面 PAD，所以 MQ ⎳平面 PAD.
·2·
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