吉林省长春外国语学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学 Word版含答案

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长春外国语学校 2023-2024 学年第二学期期中考试
高一年级数学试卷
出题人 ：赵天 审题人：王先师
本试卷共 2 页，共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知复数 满足 （i为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在 中，内角 A，B，C所对的边分别为 ， ， .向量
，若 ，则角 的大小为
A． B． C． D．
3.已知菱形 边长为 ， 则
A．B．C．2 D．4
4.以长为 ，宽为 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积为
A． ，或 B． C． ，或 D．
5.在正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，平面 平
面 ，则直线 与 的夹角大小为
A．30° B．45° C．60° D．90°
6.在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，则
A．B．C．D．
7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池
盆接雨水．天池盆盆口直径二尺八寸，盆底直径一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九
寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十
寸）
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
8.直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提
出了这样一个问题：现有 10 个直径为 4的小球，全部放进棱长为 a的正四面体盒子中，则 a
的最小值为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9.下列命题不正确的是
A．棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
10.已知△ABC 的内角 A､B､C所对的边分别为 a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是
A．若 ，则 一定是等腰三角形
B．若 ，则 是等腰或直角三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，且 ，则 是等边三角形
11.在圆锥 中，C是母线 上靠近点 S的三等分点， ，底面圆的半径为 r，圆锥
的侧面积为 ，则下列说法正确的是
A．当 时，过顶点 S和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当 时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当 时，圆锥 的外接球表面积为
D．当 时，棱长为 的正四面体在圆锥 内可以任意转动
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.已知向量 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量的模为
；
13.已知梯形 是直角梯形，按照斜二测画法
画出它的直观图 （如右图所示），其中，
，则直角梯形 边
的长度是
；
14.在 中，内角 所对的边分别为 ，满足 ， 是边 的中点，
，且 ，则 的长为
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题 13 分）已知复数 ，
(1) 当 z是虚数，求的取值范围；
(2) 当z是纯虚数，求的取值．
16.（本小题 15 分）已知向量 ，
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
17.（本小题 15 分） 的内角 的对边分别为 ，设
(1)求B；
(2)若 ，试判断 的形状；
(3)若 ，求锐角 的面积的取值范围．
18.（本小题 17 分）如图，已知 平面 ABC， ， ， ，
， ，点 为 的中点
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)若点 为 的中点，求点到平面 的距离．
19.（本小题 17 分）如图所示正四棱锥 ， ， ， 为
侧棱 上的点，且 ，求：
(1)正四棱锥 的表面积；
(2)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(3)侧棱 上是否存在一点 ，使得平面 .若存在，求的值；若不存在，试说
明理由．
长春外国语学校 2023-2024 学年第二学期期中考试
高一年级数学答案
一、单选题
1. A 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D
8.【详解】如下图所示：
10 个直径为 4的小球放进棱长为 a的正四面体 中，成三棱锥形状，有 3层，
则从上到下每层的小球个数依次为：1， ， 个，
当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都
与正四面体底面相切，
任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个
正四面体 ，
则该正四面体 的棱长为 ，可求得其高为 ，
所以正四面体 的高为 ，
进而可求得其棱长 a的最小值为 ．
二、多选题
9.BCD 10. ABD 11. BC
11.【分析】依题意可得，对于 A，利用余弦定理求出 ，即可判断 为钝
角，从而求出截面面积最大值，对于 B、C、D，首先求出圆锥的高，将圆锥的侧面展开，
化曲为直，利用余弦定理计算最小值，即可判断 B，求出外接球的半径，即可求出外接球的
表面积，从而判断 C，再求出圆锥的内切球的半径与正四面体的外接球的半径，即可判断
D；
【详解】解：依题意可知 ，所以 ．
对于 A选项， ，所以 ，
所以 为钝角，
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