吉林省长春外国语学校2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学 含答案

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长春外国语学校 2023-2024 学年第二学期第一次月考
高一年级数学试卷
出题人 ：杨媛媛 审题人：赵宇
本试卷共 2 页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在考生信息条形码粘贴区.
2．答题时请按要求用笔.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的
答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、
刮纸刀.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．下列选项中,与向量(1,2)平行的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
2．若向量 与 为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．若非零向量 ，则 与 的方向相同 D．若 ，则
3．在如图所示的复平面内，复数 ， ， 对应 的向量分别是
， ， ，则复
数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知向量 的（ ）
A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要不充分条件
5．欧拉公式 （e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提
出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则 的最小
值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在 中， ，且满足该条件的 有两个，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为
，作用在行李包上的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 ，给出以下结
论：
①越大越费力， 越小越省力；② 的范围为 ；
③ ；④
其中正确结论的序号是（ ）
A.①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．已知集合 且 且 ，
O为坐标原点，当 时，定义： ，若
，则“存在 使 ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．设向量 平面内任一向量 都可唯一表示为
则实数 m的可能取值是（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
10．复数 在复平面内对应的点为 ，原点为 ，i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 是关于 x的方程 的一个根，则
D．若 ，则点 Z的集合所构成的图形的面积为
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜
幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为
实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（s为
三角形
的面积，a,b,c 为三角形的三边）．现有 满足 ，且
的面积 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周长为30 B． 的中线CD 的长为7
C． 的三个内角满足 D． 的外接圆半径为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若向量 满足 ，则 的夹角为 ．
13．某观察站 C与两灯塔 A
、
B的距离分别为 300 米和 500 米，测得灯塔 A在观察站 C北偏
东30 ，灯塔 B在观察站 C南偏东 30 处，则两灯塔 A
、
B间的距离为
米．
14．在边长为4的正方形 中， ， ， 以
为圆心，1为半径作半圆与 交于 两点，如图所 示．
点 为弧上任意一点，向量 在向量 上的投影向 量
是 ，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）已知复数 .
(1)实数 m为何值时，复数 z为纯虚数；
(2)若 ，请计算 .
16．（15 分）已知在 中，点 D在线段 OB 上，且 ，
延长 到 ，使 .设 ， .
(1)用 、 表示向量 、 ；
(2)若向量 ，求 的值.
17．（15 分）在 中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，在下面三个条件中任选一个作为条
件，解答下列问题，三个条件为：
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