吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 含解析

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长春外国语学校 2023-2024 学年第二学期高二年级开学考试
数学试卷
出题人 ：赵天 审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2 页。考试结束
后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共 8小题，每题 5分 ，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题
目的一项）
1．已知向量 ，且 ，则 （）
A．B．C．D．
2．在等比数列 中， ， ，则公比 （）
A．B．C．D．
3．若直线经过点 和圆 C： 的圆心,并且与直线
垂直,则m的值为（）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
4．设点 P，Q分别为直线 与直线 上的任意一点，则 的
最小值为（ŸŸŸŸ）
A．1 B．2 C．D．
5．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ŸŸŸŸ）
A．B．C．D．
6．下列命题正确的个数是（）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有 =
②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面
③若 共线，则 与 所在直线平行
④对空间任意一点 O与不共线的三点 A、B、C，若 (其中
x、y、z∈R)，则 P、A、B、C四点共面
A．0B．1C．2D．3
7．正方体 的棱长为 为棱 中点， 为正方形
A1B1C1D1
内（舍
边界）的动点，若 ，则动点 的轨迹长度为（）
A．B．C．D．
8．已知椭圆 的左、右焦点分别为 的上顶点为 M，且
，双曲线 和椭圆 有相同的焦点，P为 与 的一个公共点.若
（O为坐标原点），则 的离心率 （ŸŸŸŸ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分。若只有 2 个正确选顶，每选对一个
得 3 分;若只有 3 个正确选项，每选对一个得 2 分。）
9．直线 ，圆 ，下列结论正确的是
（）A．直线 恒过定点
B．直线 与圆 必有两个交点
C．直线 与圆 的相交弦长的最大值为
D．当 时，圆 上存在 3个点到直线 距离等于 1
10．数列 中， ， ，若 ，都有
恒成立，则（ŸŸ ŸŸ）
A． 为等差数列 B． 为等比数列
C． D．实数 的最小值为
11．已知抛物线 的焦点为 F，点 P在抛物线上，点 ，点 P到点 Q和到
y轴的距离分别为 ，则（ŸŸŸŸ）
A．抛物线 C的准线方程为
B．若 ，则 周长的最小值等于 3
C．若 ，则 的最小值等于 2
D．若 ，则 的最小值等于
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分）
12．顶点在原点，焦点在 y轴上，且过点 的抛物线的标准方程是____________.
13．在正方体 中，点
E
，
F
分别是底面
A1B1C1D1
和侧面 的中
心，若 ，则 ______．
14．已知 ，直线 上存在点 ，满足 ，
则实数 的取值范围是．
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13 分）记 为数列 的前 项和.
(1)若 为等差数列，且 ，求 的最小值；
(2)若 为等比数列，且 ，求 的值.
16．（15 分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，
且椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于
M
，
N
两点， ,求直线方程.
17．（15 分）如图，在圆锥
DO
中，
D
为圆锥顶点，
AB
为圆锥底面的直径，
O
为底面圆
的圆心，
C
为底面圆周上一点，四边形
OAED
为矩形．
（1）求证：平面
BCD
⊥平面
ACE
；
（2）若 ， ， ，求平面
ADE
和平面
CDE
夹角的余弦值
18．（17 分）己知双曲线 的一条渐近线为 ，其虚轴
长为 为双曲线 上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证： 到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
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