吉林省长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 PDF版含解析（可编辑）

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高二***试题 第1页 共 3 页
长春市第二实验中学 2023-2024学年度下学期开学测试
高二数学试题
命题人：王乐 审题人：马晶 2024 年2月
本试卷分客观题题和主观题题两部分共 22 题，共 150 分，共 3页。考试时间为 120 分钟。考
试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合要求）
1．在
3
1
2xx

+


的展开式中，
x
的系数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．计算
52
75
2CA
的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
3．若随机变量
( )
2
3,N

，且
( )
6 0.86P
=
，则
( )
36P
  =
（ ）
A．
0.26
B．
C．
0.36
D．
0.42
4．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，从 2022 年年
初开始，生产电池的某种有色金属的价格一路水涨船高．下表是 2022 年前 5个月我国某电池企业
采购的该有色金属价格
Y
（单位：千元
/kg
）与月份
X
的统计数据．
X
1
2
3
4
5
Y
1.7
3.0
m
6.0
7.4
若
Y
与
X
的线性回归方程为
1.44 0.18YX=+
，则
m
的值为（ ）
A．3.8 B．4.0 C．4.2 D．4.4
5．己知直线
: 3 1 0l x y+ − =
与圆
O
：
22
1xy+=
相交于 A，B两点，则
AOB=
（ ）
A．
π
2
B．
2π
3
C．
3π
4
D．
5π
6
6．已知抛物线 C关于 x轴对称，且焦点在直线
3 2 6 0xy+ − =
上，则抛物线
C
的标准方程为（ ）
A．
24yx=−
B．
24yx=
C．
28yx=−
D．
28yx=
7．已知双曲线
C
的两个焦点为
12
,,F F P
为
C
上一点，
1 1 2
PF F F=
，
12 30PF F=
，则
C
的离心率
为（ ）
A．
23
2
+
B．
1 2 3
2
+
C．
1 2 2
2
+
D．
1 2 3
2
++
8．某数学兴趣小组研究曲线
1:1
2
x
Cy+=
和曲线
44
2:1
4
x
Cy+=
的性质，下面同学提出的结论正
确的有（ ）
甲：曲线
12
,CC
都关于直线
yx=
对称
乙：曲线
1
C
在第一象限的点都在椭圆
22
3:1
4
x
Cy+=
内
丙：曲线
2
C
上的点到原点的最大距离为
5
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目的要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A．两个变量
,xy
的相关系数为
r
，则
r
越小，
x
与
y
之间的相关性越弱
B．设随机变量
( )
2,1N
，若
( 3)pp
=
，则
1
(1 2) 2
pp
  = −
C．在回归分析中，
2
R
为0.89 的模型比
2
R
为0.98 的模型拟合得更好
D．某人解答 10 个问题，答对题数为
( )
, 10,0.8X X B
，则
( )
8EX=
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．
( )
( )
P B A P AB
B．
( )
( )
( )
PB
P B A PA
=
是可能的
C．
( )
01P B A
D．
( )
1P A A =
{#{QQABSYSEogioQAJAAAhCQwUYCAEQkBCAAAoGBAAEIAABSRNABAA=}#}
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11．已知椭圆
22
22
: 1( 0)
xy
C a b
ab
+ =  
的左、右焦点分别为
12
,FF
，上顶点为
(0, 2)B
，离心率为
2
2
，
若M，N为C上关于原点对称的两点，则（ ）
A．C的标准方程为
22
1
42
xy
+=
B．
11
4 1 9
4MF NF
+
C．
1
2
BM BN
kk = −
D．四边形
12
MF NF
的周长随
MN
的变化而变化
12．已知
Nm
，
2m
，
1
a
，
2
a
， ，
 
0,1,2, ,9
m
a
，记
1
1
10 10
m
mi
i
i
Ma
−
=
=+
．当
1
a
，
2
a
， ，
m
a
，中含
( )
N,k k k m
个6时，所有
M
不同值的个数记为
( )
Gk
．下列说法正确的有（ ）
A．若
2m=
，则
( )
0 81G=
B．若
19m=
，则
( ) ( )( )
1 18G k G k k k +  N，
C．对于任意奇数
( ) ( ) ( )
1
1 3 5 10m
m G G G m −
+ ++  ，
D．对于任意整数
( ) ( ) ( )
1
1 2 2 9 10m
m G G mG m m −
+ ++ = ，
第Ⅱ卷 主观题
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．直线
:3 4 7 0l x y− + =
被圆
22
:( 3) ( 1) 25C x y− + + =
截得的弦长为 .
14．2023 年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的 6名志愿者中任意选出 3名，分别担任语言服
务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙 2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.
15．已知
3 9 1
( ) , ( ) , ( )
10 10 5
P B P B A P B A= = =∣∣
，则
()PA=
.
16．已知点 A，B为椭圆
22
:1
4
x
Cy+=
上的两个动点，点 O为坐标原点，直线
OA
与
OB
的斜率之
积为
1
2
−
，
x轴上存在关于原点对称的两点 M，
N，使得对于线段
AB
上的任意点 P，都有
PM PN+
的最小值为定值，则此定值为 ．
四、解答题（本题共 6小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）
17．（10 分）已知
( )
( )
2*
0 1 2
1 2 N
nn
n
x a a x a x a x n+ = + + + +
，其中
0
a
，
1
a
，
2
a
，
，
R
n
a
.
且
(1 2 )n
x+
展开式中仅有第 5项的二项式系数最大.
(1)求
n
值及二项式系数最大项；
(2)求
0 2 4 6 8
a a a a a+ + + +
的值（用数值作答）.
18．（12 分）如图，四棱锥
P ABCD
−
中，底面
ABCD
为平行四边形，
60DAB
=
，
2AB AD=
，
PD ⊥
底面
ABCD
.
(1)证明：
PA BD⊥
；
(2)若
PD AD=
，求平面
APB
与平面
PBC
所成角的余弦值.
19．（12 分）在某次猜灯谜活动中，共有 20 道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独
立竞猜，甲同学猜对概率为 0.6，乙同学猜对概率为 0.4，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；
(2)任选 2道灯谜，恰好甲猜对了 2次乙猜对 1次的概率；
(3)记20 道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为 X，求 X的期望．
{#{QQABSYSEogioQAJAAAhCQwUYCAEQkBCAAAoGBAAEIAABSRNABAA=}#}
高二***试题 第3页 共 3 页
20．（12 分）已知点
F
为抛物线
E
：
( )
220y px p=
的焦点，点
( )
2,Am
在抛物线
E
上，且
3AF =
.
(1)求抛物线
E
的方程；
(2)已知点
( )
1,0G−
，过点
F
的直线交抛物线于
C
、
D
两点，求证：
CGF DGF = 
.
21．（12 分）在政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变
革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力
.
某手机生产企业积极响应政
府号召，大力研发新产品，争创世界名牌
.
为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手
机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
( )( )
, 1,2, ,6
ii
x y i =
，如表所示：
单价
x
(
千元
)
3
4
5
6
7
8
销量
y
(
百件
)
70
65
62
59
56
48
(1)若变量
x
，
y
具有线性相关关系，求产品销量
(y
百件
)
关于试销单价
(x
千元
)
的线性回归方程
ˆ
ˆ ˆ
y bx a=+
；
(2)用（1）中所求的线性回归方程得到与
i
x
对应的产品销量的估计值
ˆ.
i
y
当销售数据
( )
,
ii
xy
对应的
残差的绝对值
ˆ1
ii
yy−
时，则将销售数据
( )
,
ii
xy
称为一个“好数据”
.
现从
6
个销售数据中任取
2
个，求“好数据”至少有
1
个的概率．
参考数据：
66
2
11
1910, 199(
i i i
ii
x y x
==
==

参考公式：线性回归方程中
ˆ
b
，
ˆ
a
的估计值分别为
1
2
2
1
ˆ
·
n
ii
in
i
i
xy xny
b
x xn
=
=
−
=
−
，
ˆ
ˆ).a y bx=−
22．（12 分）已知抛物线
( )
2
:0C y ax a=
上的点
( )
0,2Px
到焦点
F
的距离为
0
2x
．
(1)求抛物线
C
的方程；
(2)点
( )
,4Tm
在抛物线上，直线
l
与抛物线交于
,AB
两点（第一象限），过点
A
作
x
轴的垂线交于
点
H
，直线
AH
与直线
OT
、
OB
分别交于点
,MN
（
O
为坐标原点），且
2AAMN=
，证明：直线
l
过定点．
{#{QQABSYSEogioQAJAAAhCQwUYCAEQkBCAAAoGBAAEIAABSRNABAA=}#}
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