吉林省吉林市2024届高三下学期第四次模拟考试 数学 参考答案

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高三数学试题答案 第 1页 （共 7页）
吉林地区普通高中 2023—2024 学年度高三年级第四次模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
C
B
D
B
C
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．全部选对的得 6分，部分选对的得部分
分，有选错的得 0分．
11 题C选项教学提示：
xtan
x
xf 2
)(
法一：因为
xtany
的对称中心为
)0
2
(,
k
)( Zk
，且
)( Zk
是
2
x
y
的对称中心，
故
)( xf
的对称中心为
)( Zk
.
法二：
)2(
2
2
2
)(2)( xatan
xa
xtan
x
xafxf
)]2([ xatanxtana
当
ka 2
)( Zk
即
2
k
a
)( Zk
时，
axafxf )(2)(
故
)( xf
的对称中心为
)
2
(a
,a
，即
)( Zk
.
D选项教学提示：
设过点
)02( ,
的直线与曲线
)( xfy
相切于点
)
2
(0
0
0xtan
x
,xP
，则切线方程为
))(
1
2
1
()
2
(0
0
2
0
0xx
xcos
xtan
x
y
，
代入
)02( ,
得
32)
4
2(2 00 xxsin
（＊）
根据函数
)
4
2(2
xsiny
与函数
32 xy
图象的公共点个数即可判断（＊）式的根的个数.
教学延伸：思考过点
0)(1，
能作几条与函数
xtanxxf )(
图象相切的直线？
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．其中第 14 题的第一个空填对得 2分，第二个
空填对得 3分．
12．
8
13．
)
3
3
0(
,
（注：表示成
3
3
0
也可以）
14．
36
；
27
14 题教学提示：
可以将该组合体嵌入到正方体内进行研究（如图所示）.
该组合体外接球半径为正方体的外接球半径．
两正交四面体公共部分内切球半径为正八面体的内切球半径，
也是正四面体的内切球半径．
四 、解答题 （14 题图）
15．【解析】
解：（Ⅰ）当
1n
时，
maS 11 32
，
11 aS ∵
，
maa 11 32
，
1
1am
········································································································ 2 分
当
2n
时，
)13(13222 11 nnnnn aaSSa
，
整理得
1
3
nn aa
，
0
1a∵
3
1
n
n
a
a
，
数列
}{ n
a
是以
1
为首项，
3
为公比的等比数列，
1
3
n
n
a
．··········································································································· 5 分
（Ⅱ）法一：
9
10
11
ACD
ABD
BCD
高三数学试题答案 第 2页 （共 7页）
1
3
1
13 333
nnn
nnn nlogalogab∵
····································································· 7 分
12210 33)1(333231 nn
nnnT
①
n
T3
nn nn 33)1(333231 1321
②······································· 9 分
①
②得
nnn
nnT 3333332 12210
2
3)21(
2
1
3
31
)31(1
n
n
n
n
n
4
3)12(
4
1n
n
n
T
．··························································································13 分
法二：
1
3
1
13 333
nnn
nnn nlogalogab∵
····································································· 7 分
设
11 3)22(3])1([3)( nnn
nBAAnBnABAnb
12 A
且
02 BA
，解得
4
1
2
1B,A
．
1
3]
4
1
)1(
2
1
[3)
4
1
2
1
(
nn
nnnb
······································································· 9 分
（注：此处没有过程，直接写出
n
b
形式不扣分）
即
nnn ccb 1
，其中
1
3]
4
1
)1(
2
1
[
n
nnc
4
1
4
3)12(
4
1
3)
4
1
2
(
)()()(
11
12312
21
n
n
n
nn
nn
n
n
cc
cccccc
bbbT
4
3)12(
4
1n
n
n
T
．··························································································13 分
（注：利用错位相减法求数列的和，若直接套用公式没有过程给 2分.）
16．【解析】
（Ⅰ）当
0a
时，
)()( 2Rxexxf x
xx exxexxxf )2()2()( 2
················································································ 2分
令
0)(
xf
得
0x
或
2x
，当
x
变化时，
)( xf
与
)( xf
变化如下表：
x
)2( ,
2
)02( ,
0
)(0 ,
)( xf
0
0
)( xf
单调递增
2
4
e
单调递减
0
单调递增
····························································································································· 4 分
故当
2x
时，
)( xf
取得极大值
2
4
e
；当
0x
时，
)( xf
取得极小值
0
．···························6分
（Ⅱ）
xx eaxxeaxaxxf ))(2(]2)2([)( 2
，
0x
0x∵
02 x
令
0)(
xf
，则
ax
，当
x
变化时，
)( xf
与
)( xf
变化如下表：
x
)0( a,
a
)( ,a
)( xf
0
)( xf
单调递减
a
ae
单调递增
故
)()( afxf min
a
ae
．······················································································ 10 分
要证当
10 a
，
0x
时，
1
)(
a
a
xf
．
法一：
只需证当
10 a
时，
1
a
a
aea
即
1)1( a
ea
（＊）·············································· 12 分
令
a
eaag )1()(
，
10 a
，则
0)(
a
aeag
，
)(ag
在
)10( ,
上单调递减
故
1)0()( gag
，即（＊）式成立，原不等式成立．··················································· 15 分
法二：
高三数学试题答案 第 3页 （共 7页）
只需证当
10 a
时，
1
a
a
aea
即
0
1
1
a
ea
（＊）·············································12 分
令
1
1
)(
a
eah a
，
10 a
，则
2
2
2)1(
1)1(
)1(
1
)(
a
ea
a
eah
a
a
令
1)1()( 2a
eaam
，
10 a
，则
0)1()( 2
a
eaam
)(am
在
)10( ,
上单调递减．
0)0()( mam
，
0)(
ah
)(ah
在
)1,0(
上单调递减，
0)0()( hah
即（＊）式成立，原不等式成立．··············································································15 分
17．【解析】
（Ⅰ）
的所有可能取值为
1
，
2
，
3
6
1
)1( 2
4
2
2C
C
P
12
1
)
6
1
1()2( 2
5
2
2C
C
P
4
3
)
10
1
1()
6
1
1()3(
P
（或
4
3
12
1
6
1
1)3(
P
）
的分布列：
1
2
3
P
6
1
12
1
4
3
12
31
4
3
3
12
1
2
6
1
1)(
E
．··········································································· 6 分
（Ⅱ）(ⅰ)
3
5
54321
x
5
1
21041014)(
i
ixx
（注：也可由
2
5
1
25xx
i
i
得出）
940
17
16
289010
160
)()(
))((
5
1
2
5
1
2
5
1.
yyxx
yyxx
r
i
i
i
i
i
ii
y
与
x
线性相关程度很强．················································································· 10 分
（注：
r
计算得出
17
16
，但未得出
940.
或其它数值，扣 1分．）
(ⅱ)
16
10
160
)(
))((
5
1
2
5
1
i
i
i
ii
xx
yyxx
b
ˆ
2890548905)( 22
5
1
5
1
22
 
 
yyyyy
i i
ii
∵
20y
2831620
ˆ
ˆxbya
经验回归方程为
2816
ˆxy
···············································································13 分
当
10x
时，
132281016
ˆy
故估计第
10
天有
132
名消费者参与抽奖．································································· 15 分
（教学建议：本次考试
b
ˆ
,r
均给出两个公式，但教学中要求学生会由公式一推导得出公式二）
18．【解析】
（Ⅰ）法一：
取弧
BC
中点
H
，则
BCOH
．以
O
为坐标原点，
以
1
OO,OH,OB
所在直线
分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴
建立如图所示空间直角坐标系.
连接
OA
，在
ABC
中，
4BC
，
22ACAB
，
OCOB
，
则
BCAO
，
2AO
，
易得
(0,0,0)O
，
)0,2,0( A
，
(2,0,0)B
，
)0,0,2(C
，
)1,0,2(D
······················································································································· 2 分
设
0)( ,y,xF
，则
)1,,( yxG
，其中
0,4
22 yyx
，
)1,,2( yxCG
，
)0,,2( yxBF
，
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