《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题10二次函数—10.13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角

3.0 envi 2025-02-07 18 4 27.01MB 38 页 3知币
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二次函数角度问题
（角相等，45°角，二倍角）
【经典例题 1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解
抛物线 y＝ax2＋c与x轴交于 A、B两点，顶点为 C，点 P为抛物线上，且位于
x轴下方．
（1）如图 1，若 P(1，－3)、B(4，0)，
① 求该抛物线的解析式；
② 若 D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点 D的坐标；
【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入 y=ax2+c，得 ，解得
，
∴抛物线的解析式为 y= x2− ；
②如图1，
当点 D在OP 左侧时，
由∠DPO= POB∠，得 DP OB∥，
∴D与P关于 y轴对称，且 P(1，−3)，
∴D(−1，−3)；
当点 D在OP 右侧时，延长 PD 交x轴于点 G.
作PH OB⊥于点 H，则 OH=1，PH=3.
∵∠DPO= POB∠，
∴PG=OG.
设OG=x，则 PG=x，HG=x−1.
在Rt PGH△中，由 x2=(x−1)2+32，得 x=5.
∴点G(5，0).
∴直线 PG 的解析式为 y= x−，
1
解方程组 得 或 .
∵P(1，−3)，
∴D( ，− ).
∴点D的坐标为(−1，−3)或(，− ).
【经典例题变式】如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(1，0)、B(4，0)两点，与 y轴交于 C(0，2)，连接 AC、BC.
(1)求抛物线解析式；
(2)BC 的垂直平分线交抛物线于 D. E 两点，求直线 DE 的解析式；
(3)若点 P在抛物线的对称轴上，且∠CPB= CAB∠，求出所有满足条件的 P点坐
标。
【解析】（1）由题意，得： 解得：
．
故这个抛物线的解析式为 y= x2- x+2．
（2）解法一：
如图 1，设 BC 的垂直平分线 DE 交BC 于M，交 x轴于 N，连接 CN，过点 M
作MF⊥x轴于 F．
∴△BMF BCO∽△ ，
∴．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1）…（5分）
∵MN 是BC 的垂直平分线，
∴CN=BN，
2
设ON=x，则 CN=BN=4-x，
在Rt OCN△中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（ ，0）．
设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，依题意，得： ，解得：
．
∴直线 DE 的解析式为 y=2x-3．
解法二：
如图 2，设 BC 的垂直平分线 DE 交BC 于M，交 x轴于 N，连接 CN，过点 C作
CF∥x轴交 DE 于F．
∵MN 是BC 的垂直平分线，
∴CN=BN，CM=BM．
设ON=x，则 CN=BN=4-x，
在Rt OCN△中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（ ，0）． ∴BN=4- = ．
∵CF∥x轴，∴∠CFM= BNM∠．
∵∠CMF= BMN∠，
∴△CMF BMN≌△ ．
∴CF=BN．∴F（ ，2）．
设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，得： ，解得：
∴直线 DE 的解析式为 y=2x-3．
（3）由（1）得抛物线解析式为 y= x2- x+2，
∴它的对称轴为直线 x=．
①如图3，设直线 DE 交抛物线对称轴于点 G，则点 G（ ，2），
以G为圆心，GA 长为半径画圆交对称轴于点 P1，
则∠CP1B= CAB∠． GA= ，
3
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