12.3 角的平分线的性质讲义 学生版

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12.3 角的平分线的性质
一、教学目标
（1）知识与技能目标：会作一个角的平分线，并掌握角平分线的性质及判定；
（2）过程与方法目标：综合运用角的平分线的性质及判定解决相关问题；
（3）情感态度与价值观：通过作三角形的角平分线，了解三角形三条角平分线交于一点的事实；
二、教学重难点
（1）教学重点：角平分线的性质及其应用
（2）教学难点：灵活应用两个性质解决问题
知识点一：作已知角的平分线
用尺规作图法作已知角的平分线的步骤：
（1）以点 O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 OA，OB 于M、N两点；
（2）分别以点 M,N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C；
（3）画射线 OC.
则射线 OC 就是∠AOB 的平分线.
提醒：①作已知角的平分线的方法很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法.
② 用尺规作图法作已知角的平分线是依据“SSS”定理构造一对全等的三角形.
1
③ 在上面的步骤（2）中，若以小于 MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点；以等于 MN 的长为半径
画弧时，两弧虽有交点，但交点不明显，不利于下一步的作图. 所以必须要求“以大于 MN 的长为半径”.
例1.如图，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB 的补角，并作出这个补角的平分线.
变式 1.如图，已知∠AOB，求作射线 OC，使 OC 平分∠A0B,作法的合理顺序是：①作射线 0C；②以 O为
圆心，适当长为半径画弧交 0A,OB 于D,E；③分别以 D,E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在∠AOB
内，两弧交于点 C.
A. B. C. D. ① ② ③ ② ① ③ ② ③ ① ③ ② ①
变式 2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．OE 是∠AOB 的平分线 B．OC=OD
C．点 C、D到OE 的距离不相等 D．∠AOE= BOE∠
2
知识点二：角的平分线的性质
1. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
2. 书写格式：如图所示，∵OP 是∠AOB 的平分线，PD OA⊥，PE OB⊥，∴PD=PE（角的平分线上的点
到角的两边的距离相等）
提醒:1.该性质可以直接作为证明两条线段相等的依据，不需要再通过证全等三角形来推导.
2.这一定理的条件是“点在角的平分线上”，结论是“这一点到角的两边的距离相等”.
3.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线
的线段”.
例1.如图，OC 是∠AOB 的平分线，P是OC 上一点，PD OA⊥于点 D，PD=6，则点 P到边 OB 的距离为（
）
A.6 B.5 C.4 D.3
变式 1.如图所示，在 Rt ACB△中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，若 BC=16，BD=10，则点 D到AB 的距离
是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
3
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