八年级数学第9讲 乘法公式-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（华师大版）（原卷版）

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第9讲 乘法公式
【学习目标】
掌握平方差公式跟完全平方知识和应用
【基础知识】
考点一、平方差公式
平方差公式：
2 2
( )( )a b a b a b  
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
考点诠释：在这里，
ba,
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，
又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如
( )( )a b b a  
利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
(3 5 )(3 5 )x y x y 
（3）指数变化：如
3 2 3 2
( )( )m n m n 
（4）符号变化：如
( )( )a b a b 
（5）增项变化：如
( )( )m n p m n p   
（6）增因式变化：如
2 2 4 4
( )( )( )( )a b a b a b a b 
考点二、完全平方公式
完全平方公式：
222 2)( bababa
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
考点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加
（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：
1
 
2
2 2
2a b a b ab  
 
2
2a b ab 
 
2 2
4a b a b ab  
考点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里
的各项都改变符号.
考点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正
确.
要点四、补充公式
2
( )( ) ( )x p x q x p q x pq   
；
2 2 3 3
( )( )a b a ab b a b  
；
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b  
；
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc 
.
【考点剖析】
考点一：平方差公式的应用
例1．下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结
果．
(1)
  
2 3 3 2a b b a 
； (2)
 
2 3 2 3a b a b 
；
(3)
  
2 3 2 3a b a b   
； (4)
  
2 3 2 3a b a b 
；
(5)
 
2 3 2 3a b a b 
； (6)
 
2 3 2 3a b a b  
．
举一反三：
【变式】计算：（1）
3 3
2 2 2 2
x x
y y
  
 
  
  
； （2）
( 2 )( 2 )x x   
；
（3）
( 3 2 )(2 3 )x y y x 
．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
举一反三：
2
【变式】怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
考点二：完全平方公式的应用
例2．计算：
(1)
 
2
3a b
； (2)
 
2
3 2a 
； (3)
 
2
2x y
； (4)
 
2
2 3x y 
．
图 a 是由 4 个长为 m，宽为 n 的长方形拼成的，图 b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是
一个小正方形．
（1）用 m、n 表示图 b 中小正方形的边长为　 　．
（2）用两种不同方法表示出图 b 中阴影部分的面积；
（3）观察图 b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣
n）2，mn；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知 a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
3
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