八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）专题17 因式分解（知识点串讲）（解析版）

3.0 envi 2025-02-07 18 4 743KB 16 页 3知币
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专题 17 因式分解
【重点突破】
知识点一 因式分解（难点）
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【因式分解的定义注意事项】
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
提公因式法
【提公因式法的注意事项】
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
1平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
十字相乘
【十字相乘的注意事项】
1）用来解决两者之间的比例问题。
2）得出的比例关系是基数的比例关系。
3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
【考查题型】
1
考查题型一 判断能否因式分解
典例 1．（2019·长沙市期中）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y
【答案】B
【提示】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 A、C、D不能因式分解；
B是完全平方公式的形式，故 B能分解因式；
故选 B．
变式 1-1．（2020·南京市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x－y）＝ax－ay B．x2－1＝（x+1）（x－1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【答案】B
【解析】
试题提示：根据因式分解的定义只有 B,是把一个多项式转化为两个因式积的形式.
变式 1-2．（2018·新乡市期中）下列因式分解正确的是(　　)
A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋x＋1＝(x＋1)2
C．x2－2x－3＝(x－1)2－4 D．2x＋4＝2(x＋2)
【答案】D
【解析】
根据因式分解的意义和方法步骤，可知：
根据平方差公式，可得 x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故不正确；
根据式子特点，x2+x+1 不能分解，故不正确；
根据因式分解的概念，x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4不是积的形式，故不正确；
根据提公因式法，可得 2x+4=2（x+2），故正确.
故选 D.
名师点拨：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、
二套（平方差公式 ，完全平方公式 ）、三检查（彻底分
解）.
考查题型二 已知因式分解的结果求参数
2
典例 2．（2020·来宾市期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
直接利用多项式乘法运算法则得出 p的值，进而得出 n的值．
【详解】
解：∵ ，
∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2-nx-2，
∴m=3，p=-1，3p+2=-n，
∴n=1，
故选 B.
【名师点拨】
此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出 p的值，是一道基础题．
变式 2-1．（2019·鞍山市期中）将 分解成 ，则 m，n的值为（ ）
A．5，-14 B．-5，14 C．5，14 D．-5，-14
【答案】D
【提示】
将 展开利用对应系数法即可求出 m、n的值
【详解】
解：
∴m= -5，n=-14.
故选 D
【名师点拨】
此题考查的是整式乘法，解决此题的关键是多项式乘多项式法则和对应系数法求系数.
变式 2-2．（2020·上海市期中）若 是 的因式，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．－4 D．－6
【答案】D
【提示】
3
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