《备战中考数学复习重难点与压轴题型专项训练》专题17 新定义型二次函数问题(原卷版)

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备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练

专题 17 新定义型二次函数问题

【专题训练】

一、解答题

1．（2020·安徽九年级学业考试）如果抛物线 C1的顶点在抛物线 C2上，抛物线 C2的顶点也在抛物线 C1上，那么我们称抛物

线C1与C2为“互相关联”的抛物线．如图，已知抛物线与是“互相关联”的

抛物线，点 A，B分别是抛物线 C1，C2的顶点，抛物线 C2经过点 D（6，－1）.

（1）直接写出点 A，B的坐标和抛物线 C2的解析式．

（2）抛物线 C2上是否存在点 E，使得△ABE 是以 AB 为直角边的直角三角形?如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在，

请说明理由．

2．（2020·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学九年级月考）定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条

抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也

可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线．

（1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线；

（2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值．

（3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析

式．

3．（2020·吉林长春市·九年级其他模拟）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 P的坐标为，点 Q的坐标

为，且，，若 PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 y轴垂直，则称该等腰三角

形为点 P，Q的“伴随等腰三角形”．若 P，Q为抛物线上的点，它的“伴随等腰三角形”记为

，且底边，点 M，Q均在点 P的右侧，设点 P的横坐标为 m．

（1）若点 M在这条抛物线上，求的面积；

（2）设 P，Q两点的纵坐标分别为，，比较与的大小，并求 m的取值范围；

（3）当底边上的高等于底边长的 2倍时，求点 P的坐标；

（4）若 P，Q是抛物线上的两点，它的“伴随等腰三角形 PQN”以PN 为底，且点 N，Q均在点 P的同

侧（左侧或右侧），点 Q的横坐标是点 P的横坐标的 2倍，过点 P，N分别作垂直于 x轴的直线，．设点 P的横坐标为

，该抛物线在直线，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与 n之间的函数关系式，并

写出自变量 n的取值范围．

4．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取在直线

左侧的抛物线的部分；当时，取在直线右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直

线的一对兄弟抛物线．例如：抛物线与抛物线就是关于直线 (

轴)的一对兄弟抛物线．

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