《初中数学讲义》衔接教材21 函数的概念与表示（解析版）

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衔接教材 21 函数的概念与表示
知识点讲解
1．函数
函数
两个集合 A，
B
设A，B是两个非空数集
对应关系 f：A
→B
如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集
合B中都有唯一确定的数 f (x)和它对应
名称 称f ： A → B
为从集合 A到集合 B的一个函数
函数记法 函数 y＝f (x)，x∈A
2.函数的三要素
(1)定义域
在函数 y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域．
(2)值域
与x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)对应关系 f：A→B.
3．函数的表示法与区间表示
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函
数．
5.求解函数的定义域时需要注意的问题：
(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被
开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于 1的正数以及三角函数的定
义域等．
(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要
注意端点值或边界值．
6.求解函数解析式的方法归纳：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数 f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件 f
a
(g(x))＝F (x)，可将 F (x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x替代 g(x)，便得 f
a
(x)
的解析式．
1
(4)消去法：已知 f (x)与f 或f (－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通
过解方程组求出 f
(x)．
经典例题解析
例1　求下列函数的解析式：
(1)已知 f (1－sin x)＝cos2x，求 f (x)的解析式；
(2)已知 f ＝x4＋，求 f(x)的解析式；
(3)已知 f (x)是一次函数且 3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式；
(4)定义在(－1,1)内的函数 f (x)满足 2f (x)－f (－x)＝lg(x＋1)，求 f (x)的解析式．
解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f ＝2－2，
∴f (x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)因为 f (x)是一次函数，
可设 f (x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f (x)的解析式是 f
a
(x)＝2x＋7.
(4)(消去法)当x∈(－1,1)时，有 2f
(x)－f
(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替 x得，2f
(－x)－f
(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去 f
(－x)得，f
a
(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，
x∈(－1,1)．
例2已知 f (x)是二次函数且 f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，则 f (x)＝________.
答案　x2－x＋2
解析　设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f
a
(0)＝2，得 c＝2，
f
a
(x＋1)－f
a
(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即 2ax＋a＋b＝x－1，
2
∴即
∴f
a
(x)＝x2－x＋2.
例3 已知函数 f
a
(x)＝若 f ＝－6，则实数 a的值为________，f (2)＝________.
答案　－5　－6
解析由题意得，f ＝3·＋1＝3，所以 f ＝f (3)＝9＋3a＝－6，所以 a＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6.
例4求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (2)y＝；
(3)y＝2x－； (4)y＝＋.
解　(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由 x∈[0,3)，
再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．
(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)(换元法)设t＝，则 x＝t2＋1，且 t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与 y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)．
实时训练
1．下列集合 A到集合 B的对应 f是函数的是(　　)
A．A＝{－1,0,1}，B{－1,0,1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数求平方根
3
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