《九年级数学》考点04 中考常考题型-二次函数（提高）（解析版）

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考点 04 中考常考题型——二次函数（提高）
一、单选题（共 11 小题）
1.（2020•金台区二模）若将二次函数 y＝x24﹣x+3 的图象绕着点（﹣1，0）旋转 180°，得到新的二次函数 y
＝ax2+bx+c（a≠0），那么 c的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．17 D．﹣17
【答案】A
【分析】由于图象绕定点旋转 180°，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解
析式．
【解答】解：∵抛物线 y＝x24﹣x+3＝（x2﹣ ）21﹣ 的顶点坐标为（2，﹣1），
∴绕（﹣1，0）旋转 180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣4，1），
∴所得到的图象的解析式为 y＝﹣（x+4）2+1＝﹣x28﹣x15﹣ ．
∴c的值为﹣15．
故选：A．
【知识点】二次函数图象与几何变换
2.（2020•东丽区一模）对于二次函数 y＝x2+mx+1，当 0＜x≤2 时的函数值总是非负数，则实数 m的取值范
围为（　　）
A．m≥ 2﹣B．﹣4≤m≤ 2﹣C．m≥ 4﹣D．m≤ 4﹣ 或 m≥ 2﹣
【答案】A
【分析】分三种情况进行讨论：对称轴分别为 x＜0、0≤x＜2、x≥2 时，得出当 0＜x≤2 时所对应的函数值，
判断正误．
【解答】解：对称轴为：x＝﹣ ＝﹣ ，y＝ ＝1﹣ ，
分三种情况：①当对称轴 x＜0时，即﹣ ＜0，m＞0，满足当 0＜x≤2 时的函数值总是非负数；
②当0≤﹣ ＜2时，0≤﹣ ＜2，﹣4＜m≤0，当 1﹣≥0 时，﹣2≤m≤2，满足当 0＜x≤2 时
的函数值总是非负数；
当1﹣ ＜0时，不能满足当 0＜x≤2 时的函数值总是非负数；
∴当﹣2≤m≤0 时，当 0＜x≤2 时的函数值总是非负数，
③当对称轴﹣ ≥2时，即 m≤ 4﹣ ，如果满足当 0＜x≤2 时的函数值总是非负数，则有 x＝2时，
y≥0，
4+2m+1≥0，
1
m≥﹣ ，
此种情况 m无解；
故选：A．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
3.（2020•双峰县一模）定义[a，b，c]为函数 y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣
m]的函数的一些结论，其中不正确的是（　　）
A．当 m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（ ）
B．当 m＞0时，函数图象截 x轴所得的线段长度大于
C．当 m≠0 时，函数图象经过同一个点
D．当 m＜0时，函数在 x时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】
A、把 m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答
即可；
B、令函数值为 0，求得与 x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D、根据特征数的特点，直接得出 x的值，进一步验证即可解答．
【解答】解：因为函数 y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当 m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣ ）2+，顶点坐标是（ ， ）；此结论正确；
B、当 m＞0时，令 y＝0，有 2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣ ﹣
，
|x2﹣x1|＝+＞ ，所以当 m＞0时，函数图象截 x轴所得的线段长度大于 ，此结论正确；
C、当 x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意
m， 函 数 图 象 都 经 过 点 （ 1，0） 那 么 同 样 的 ： 当 m＝0时 ， 函 数 图 象 都 经 过 同 一 个 点
（1，0），当 m≠0 时，函数图象经过同一个点（1，0），故当 m≠0 时，函数图象经过 x轴上
一个定点此结论正确．
D、当 m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：
直线 x＝ ，在对称轴的右边 y随x的增大而减小．因为当 m＜0时， ＝ ﹣ ＞ ，
即对称轴在 x＝ 右边，因此函数在 x＝ 右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选：D．
【知识点】二次函数的性质
4.（2020•碑林区校级二模）已知二次函数 y＝ax2+bx 2﹣a（a≠0）的图象经过点 A（1，n），B（3，n），
2
且当 x＝1时，y＞0．若 M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）也在该二次函数的图象上，则下列
结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【答案】C
【分析】根据点 A（1，n），B（3，n），确定函数的对称轴 x＝2，再由当 x＝1时，y＞0确定 a＜0，结合
函数图象即可求解；
【解答】解：∵当 x＝1时，y＞0．
∴n＞0，
又∵经过点 A（1，n），B（3，n），
∴x＝2是函数的对称轴，
令x＝0时，函数与 y轴交点（0，﹣2a），
当a＞0时，﹣2a＜0，不符合题意；
∴a＜0，
∴M（﹣2，y1）、N（﹣1，y2）、P（7，y3）到对称轴的距离从远即近为 P，M，N，
∴y2＞y1＞y3，
故选：C．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与 x轴的交点
5.（2020•龙岩一模）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与 y轴
的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论错误的是（　　）
A．3a+b＜0 B．﹣2≤a≤﹣lC．abc＞0 D．9a+3b+2c＞0
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的性质进行判断即可．
【解答】解：A．根据图示知，抛物线开口方向向下，则 a＜0．
∵对称轴 x＝ ＝1，
∴b＝﹣2a，
3∴a+b＝3a2﹣a＝a＜0，即 3a+b＜0．
故A正确；
B．抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣1，0），对称轴直线是 x＝1，
∴该抛物线与 x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
1×3∴﹣ ＝﹣3，
∴＝﹣3，则 a＝﹣ ．
∵抛物线与 y轴的交点在（0，3）、（0，6）之间（包含端点），
3
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