《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十四、二次函数与几何综合：周长最值 解析版

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计算力专训三十四、二次函数与几何综合：周长最值
牛刀小试
1．（2020·河北迁西·其他）如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，
抛物线 的顶点为 ，且与 轴左交点为 （其中 ）．
（1）当 时，①求直线 与抛物线 的解析式；
② 在抛物线 对称轴上求一点 使得 的周长最小，且写出最小值；
【答案】（1）①直线 ，抛物线为： ；②见解析， 的周长的最小值为
；【解析】
【分析】
1
（1）①根据点 A，点 B坐标，即可求 m的值，进而求出结果；
② 先求出抛物线的对称轴为 x=-3,连接 BD 与对称轴的交点即为 P；求出 BD 的值即可求△BOP 的周长的最
小值；
【详解】
解：（1）①由已知可得 ，
∵∴∴
∴直线 ，抛物线为：
② 在 中，当 时， ；当 时，
∴ ，
抛物线的对称轴为 ， 与 关于 对称
连接 与对称轴的交点即为
∵
∴ 的周长
∵ ， ，
∴ 的周长的最小值为
【点睛】
本题考查了二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离解题是关键．
2．（2020·沧州市第十四中学初三月考）已知抛物线经过 A(1，0)，B(5，0)，C(0，4)，Q四个点，且点 Q
在x轴下方．
2
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，直接写出满足 PA+PC 的值为最小的点 P坐标；
【答案】（1） ，对称轴：直线 x=3；（2）P；
【解析】
【分析】
（1）设 ，将点 A、B、C的坐标代入解析式求出系数的值，得到二次函数解析式，再根据
对称轴公式求出对称轴；
（2）连接 BC 与对称轴交于点 P，这个点 P就是使 最小的点，求出直线 BC 的解析式，再求它与
对称轴的交点坐标；
【详解】
解：（1）设 ，将 、 、 代入解析式，
得 ，解得 ，
∴解析式：
∵ ，
3
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