《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题22 圆位置关系在二次函数中的综合问题(解析版)

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专题 22 圆位置关系在二次函数中的综合问题
1、如图，已知抛物线 与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于 C点，直线 BD 交抛物
线于点 D，并且 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C，求 面积的最大值；
（3）在（2）中 面积最大的条件下，过点 M作直线平行于 y轴，在这条直线上是否存在一个以 Q
点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）4；（3）存在，Q的坐标为 或
【解析】
解： 将 、 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
则抛物线的解析式为： ；
过点 M作y轴的平行线，交直线 BC 于点 K，
1
将点 B、C的坐标代入一次函数表达式： 得： ，解得： ，
则直线 BC 的表达式为： ，
设点 M的坐标为 ，则点 ，
，
， 有最大值，
当 时，
最大值为 4，
点M的坐标为 ；
如图所示，存在一个以 Q点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，切点为 N，
过点 M作直线平行于 y轴，交直线 AC 于点 H，
2
点M坐标为 ，设：点 Q坐标为 ，
点A、C的坐标为 、 ， ，
轴，
，
，则 ，
将点 A、C的坐标代入一次函数表达式： 得： ，
则直线 AC 的表达式为： ，
则点 ，
在 中， ， ，
，
解得： 或 ，
即点 Q的坐标为 或 ．
3
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