《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题11规律探索—11.3新定义规律
【经典例题 1】已知有理数 a≠1，我们把
1
1− a
称为 a的差倒数，如:2 的差倒数是
1
1−2
=-1，-1的差倒数是
1
1−(−1)
=
1
2
.如果 a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差
倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么 a1+a2+…+a100 的值是(
)
A.-7.5 B.7.5 C.5.5 D.-5.5
【解析】∵a1=-2，
∴a2=
1
1−(−2)
=
1
3
，a3=
1
1−1
3
=
3
2
，a4=
1
1−3
2
=-2，…
∴a1，a2，a3，…，an以-2，
1
3
，
3
2
依次循环，且-2+
1
3
+
3
2
=-
1
6
，
100∵÷3=33……1，
∴a1+a2+…+a100=33× -
1
6
-2=-
15
2
=-7.5.
故选 A.
练习 1-1 若x是不等于 1的实数，我们把
1
1− x
称为 x的差倒数，如 2的差倒数
是
1
1− x
＝﹣1，﹣1的差倒数为
1
1−(−1)
＝
1
2
，现已知 x1＝
1
3
，x2是x1的
差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则 x2019 的值为（8
8 ）
A. ﹣
1
3
B. 2﹣ C.3 D.4
【解析】B
练习 1-2 定义一种变换 f：对于一个由有限个数组成的序列品，将其中的每个数
换成该数在 S0中出现的次数，可得到一个新序列 S，例如序列 S：
(4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列 S1：(2，2，1，2，2），若某一序
1
列S0， 经变换得到新序列 S1， 由序列 S1继续进行变换得到 S2， 最终得到序
列Sn-1；（n≥2）与序列 Sn相同，则下面的序列可作为 Sn的是（ 88）
A.(1，2，1，2，2）8 8B.(2，2，2，3，3)
C.(1，1，2，2，3）88 D.(3，2，3，3，2）
【解析】D
练习 1-3 定义一种对正整数 n的“F”运算：①当 n为奇数时，F（n）=3n+1；②
当n为偶数时，F（n）=
n
2k
（其中 k是使 F（n）为奇数的正整数）……，两种
运算交替重复进行，例如，取 n=24，则：
若n=13，则第 2018 次“F”运算的结果是（888 ）
A.1 B.4 C.2018 D.42018
【解析】A
练习 1-4 设
a0=
√
2, an+1=[an]+ 1
{an}
，（n为自然数），其中
[an]
与
{an}
分别
表示
an
的整数部分和小数部分，如[2.5]=2，
{2,5 }
=0.5;
[−2,6]=−3
，
{−2,6 }
=0.4;则
a2019
=________
【解析】
√
2+4038
练习 1-5 任意写出一个 3的倍数
¿
例如：
111¿
，首先把这个数各数位上的数
字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果
最终会得到一个固定不变的数 M，它会掉入一个数字“黑洞”
.
那么最终掉入
“黑洞”的那个数 M是________.
【解析】153
2
练习 1-6 我们知道，任意一个正整数 n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是
正整数，且 p≤q)．在 n的所有这种分解中，如果 p，q两因数之差的绝对值最
小，那么我们称 p×q 是n的最佳分解，并规定：F(n)＝.例如 12 可以分解成
1×12，2×6 或3×4，因为 12－1>6－2>4－3，所以 3×4 是12 的最佳分解．所以
F(12)＝.
(1) 如果一个正整数 m是另外一个正整数 n的平方，那么我们称正整数 m
是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F(m)＝1.
(2) 如果一个两位正整数 t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其
个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那
么我们称这个数 t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”．
(3) 在(2)所得的“吉祥数”中，求 F(t)的最大值．
【解析】(1) 对任意一个完全平方数 m，设 m＝n2(n 为正整数)．
|n∵－n|＝0，
n×n∴是m的最佳分解．
∴对任意一个完全平方数 m，
总有 F(m)＝＝1
(2) 设交换 t个位上的数与十位上的数得到的新数为 t′，则 t′＝10y＋x.
t∵是“吉祥数”，∴ t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36.
y∴＝x＋4. 1≤x≤y≤9∵，x，y为自然数，
“∴吉祥数”为 15，26，37，48，59
(3) 由题意，得 F(15)＝，F(26)＝，F(37)＝，F(48)＝＝，F(59)＝.
>>>>∵，
(2)∴中所得的“吉祥数”中，F(t) 的最大值为
练习 1-7 定义：如果 M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积
能被这两个数的和整除，则称这组数为 M个数的祖冲之数组。如
(3,6)
为两个数
的祖冲之数组，因为 3×6 能被
(3 6)
整除；又如
(15,30,60)
为三个数的祖冲之数组，
3
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