14.2 乘法公式讲义 学生版

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14.2 乘法公式
教学目标
（1）经历探索平方差公式，完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．*
（2）会推导平方差公式，完全平方公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．*
（3）了解平方差公式，完全平方公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
重难点分析*
教学重点：公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
教学难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．理解公式的结构特征，并灵活应用公式
　　*
知识点一：平方差公式（重点）
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
① 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
② 右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③ 公式中的 a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④ 对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简
便．
【例题】下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2b a﹣ ） B．（﹣2x 1﹣ ）（﹣2x 1﹣ ）
C．（3x y﹣ ）（﹣3x+y） D．（﹣m n﹣ ）（﹣m+n）
【变式 1】已知 是方程 的解，则（a+b）（a b﹣ ）的值为（　　）
A．25 B．45 C．﹣25 D．﹣45
【变式 2】已知 a24b﹣2=12，且 a 2b= 3﹣ ﹣ ，则 a+2b=　 　 ．
1
知识点二：完全平方公式（重点）
（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b²
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项
分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的 2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的 a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全
平方公式．
【例题】已知实数 a、b满足 a+b=2，ab= ，则 a b=﹣ （　　）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
【变式 1】将 9.52变形正确的是（　　）
A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10 0.5﹣ ）
C．9.52=1022×10×0.5+0.5﹣2D．9.52=92+9×0.5+0.52
【变式 2】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详
解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨
辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64 的展开式中第三项的系数为（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
2
知识点三：添括号法则（难点）
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括
号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：① a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号
内各项不变号；② a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各
项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负
号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
【例题】下列变形中，不正确的是（　　）
A．a b﹣ ﹣（ c d ﹣ ）=a b c d﹣ ﹣ ﹣ B．a﹣（b c+d ﹣ ）=a b+c d﹣ ﹣
C．a+b﹣（﹣c d ﹣ ）=a+b+c+d D．a+（b+c d ﹣ ）=a+b+c d﹣ 　
【变式 1】已知 a b= 3﹣ ﹣ ，c+d=2，则（b+c）﹣（a d﹣ ）的值为（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
【变式 2】在横线内填上恰当的项：ax bx ay+by=﹣ ﹣ （ax bx﹣ ）﹣（　 　 ）．
拓展点一：乘法公式的应用
【例题】利用乘法公式计算：98²
【变式 1】利用平方差公式计算：30.1×29.9．
3
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