第五讲 解一元二次方程（因式分解法）（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第五讲 解一元二次方程（因式分解法）
【学习目标】
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
【新课讲解】
知识点 1：因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法的概念
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
2.因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).
3.因式分解法的基本步骤
（1）通过移项将方程的右边=0;
（2）将方程的左边因式分解;
（3）方程化为两个一元一次方程;
（4）解方程，写出方程两个解。
3.例题解析
【例题 1】用因式分解法解方程：3x2－6x=-3.
【答案】x1=x2=1.
【解析】将方程：3x2－6x =-3 化为一般式为
x2－2x+1 =0.
因式分解，得
( x－1 )( x－1 ) =0.
有 x－1=0 或 x－1=0，
x1=x2=1.
【例题 2】用因式分解法解方程 (
x
-5)(
x
+2)=18.
【答案】x1=7，x2=－4.
【解析】将(
x
-5)(
x
+2)=18 化为
x2－3x－28=0，
方程左端因式分解
1
(x－7)(x+4)=0，
(x－7)=0 或者(x+4)=0，
所以 x1=7，x2=－4.
知识点 2：灵活选用方法解方程
1.各种一元二次方程的解法及适用类型.
2.一元二次方程解法选择的基本思路
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
（2）若常数项为 0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
（3）若一次项系数和常数项都不为 0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，
若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
（4）不过当二次项系数是 1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
【例题 3】解方程 x(x+1)=2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x1= , x2= .
【答案】
x
2+
x
－2=0；－2， 1
【解析】把原来一元二次方程化为二次项系数为 1，右端等于 0 的形式。首先看看能因式分解的就先用因
式分解法解方程。不能因式分解可以用公式法。本题用因式分解法简单。
解一元二次方程（因式分解法）过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、单选题（每小题 4分，共 32 分)
1.方程
2
x x
的解是（ ）
A．
1x
B．
0x
C．
11x
，
20x
D．
11x 
，
20x
【答案】C
2
【解析】先移项，得
，因式分解，得：
( 1) 0x x  
，∴
10x
，
21x
.
2．关于 x的一元二次方程 x24x+3=0﹣的解为（　　）
A．x1= 1﹣ ，x2=3 B．x1=1，x2= 3﹣C．x1=1，x2=3 D．x1= 1﹣ ，x2= 3﹣
【答案】C
【解析】x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3
3．一元二次方程 的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2
【答案】D
【解析】
,
4．一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 的一根，则此三角形的周长是（　
）
A．16 B．12 C．14 D．12 或16
【答案】A
【解析】解方程 ，得： 或 ，
若腰长为 3，则三角形的三边为 3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为 5，则三角形三边长为 5、5、6，此时三角形的周长为 16，
5．已知三角形的两边长为 4和5，第三边的长是方程 x25x+6=0﹣的一个根，则这个三角形的周长是（　
　）
A．11 B．12 C．11 或12 D．15
【答案】C
3
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