《中考数学复习讲义》第八章 旋转 模型（三十四）——费马点模型

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第八章.旋转
模型（三十四）——费马点模型
费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点.
当 PA+PB+PC 取最小值时，点 P 叫三角形的费马点.
【结论】如图,△ABC 的三个内角均不大于 120°，点 P 在形内，
当∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120º 时，PA+PB+PC 的值最小.
【证明】如图，将△ABP 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到△A´BP´，
连接 PP´，则△BPP´是等边三角形，所以 PB=PP´.
由旋转的性质可得 PA+PB+PC ＝ P´A´+PP´+PC≥A´C,
∴当 A´、P´、P、C 四点共线时，PA+PB+PC 的值最小，
∵△BPP´是等边三角形，∠BPP´＝60º，∴∠BPC＝120º，
模型讲解
∵∠APB＝∠A´P´B，∠BP´P＝60º，∴∠APB＝180º－60º＝120º
则∠CPA＝360º－120º－120º＝120º，
故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120º.
费马点作法：
典例 1 ☆☆☆☆☆
问题的提出∶如果点 P 是锐角△ABC 内一动点，如何确定一个位置，使点 P 到
△ABC 的三顶点的距离之和 PA＋PB＋PC 的值最小?
典例秒杀
（1）问题的转化：把△APC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AP´C´，连接 PP´，
这样就把确定 PA＋PB＋PC 的最小值的问题转化成确定 BP＋PP´＋P´C´的最
小值的问题了，请你利用图 1 画出上述操作的最终图象的示意图，并证明
∶PA＋PB＋PC=BP＋PP´＋P´C´.
（2）问题的解决：当点 P 到锐角△ABC 的三顶点的距离之和 PA＋ PB＋PC 的
值最小时，∠APB 的度数是______，∠APC 的度数是_________.
（3）问题的延伸∶图 2 是有一个锐角为 30°的直角三角形，如果斜边为 2，
点 P 是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点 P 到这个三角形
各顶点的距离之和的最小值.
【解析】⑴如图，
由旋转得∠PAP´=60°，PA=P´A，∴△APP´是等边三角形，∴PP´=PA.
又∵PC=P´C´，∴PA＋PB＋PC＝BP＋PP´+ P´C´.
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