《中考数学核心考点强化突破（全国通用）》专题二 作图问题(解析版)

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专题二　作图问题
类型 1　尺规作图
1．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线 l和l外一点 P.
求作：直线 l的垂线，使它经过点 P.
作法：如图：(1)在直线 l上任取两点 A、B；
(2)分别以点 A、B为圆心，AP，BP 长为半径画弧，两弧相交于点 Q；
(3)作直线 PQ.
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是：______________________________________________
(2)已知：直线 l和l外一点 P.
求作：⊙P，使它与直线 l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(2)如图⊙P即为所求．
2．如图，MN 是⊙O的直径，MN＝4，点 A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN的中点，P是直径 MN 上一
动点．
(1)利用尺规作图，确定当 PA＋PB 最小时 P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)．
(2)求PA＋PB 的最小值．
1
[来源:Z|xx|k.Com]
解：(1)如图 1所示，点 P即为所求；
(2)由(1)可知，PA＋PB 的最小值即为 A′B 的长，连接 OA′、OB、OA，∵A′点为点 A关直线 MN 的对
称点，∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，又∵B为AN的中点，∴AB＝BN，
∴∠BON＝∠AOB＝∠AON＝30°，∴∠A′OB＝60°＋30°＝90°，又∵MN＝4，∴OA′＝OB＝MN＝×4＝2.
∴在 Rt△A′OB 中，A′B＝2，∴PA＋PB 的最小值为 2.
3．如图，已知△ABC，∠B＝40°.
(1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆 O，并标出⊙O与边 AB，BC，AC 的切点 D，E，F(保留痕迹，
不必写作法)；
(2)连接 EF，DF，求∠EFD 的度数．[来源:学,科,网]
解：(1)如图 1，⊙O即为所求．
(2)如图 2，连接 OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，∴∠DOE
＝140°，∴∠EFD＝70°.
4．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图 1，已知∠AOB＝30°与线段 a，你能作出 边长为 a的等
边三角形△COD 吗？小明的做法是：如图 2，以 O为圆心，线段 a为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 M，
N，在弧 MN 上任取一点 P，以点 M为圆心，MP 为半径画弧，交弧 CD 于点 C，同理以点 N为圆心，NP
为半径画弧，交弧 CD 于点 D，连结 CD，即△COD 就是所求的等边三角形．
2
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