第2讲 几何综合题中的“中线倍长”问题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）

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《重点题型针对复习》第 2 讲 几何综合题中的“中线倍长”问题
【方法梳理】
1.遇“中点”或“中线”的几何题需要添加辅助线时，首先考虑“中线倍长”.
2. 注意：中线的变化：过中点的线段
3.添辅助线的目的是构造三角形全等，利用全等性质解题；
【强化巩固练习】
例 1.如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC．若
∠ABC=∠BEF=60°，则 PG：PC 的值为____
例 2.如图，点 E 是矩形 ABCD 的一边 AD 的中点，BF⊥CE 于点 F，连接 AF，若 AB=4，AD=6，则 sin∠AFE=_________
例 3.如图，在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，E,F 分别在 AC,BC 上，∠EDF=90°，已知 CE=4,AE=2,BF-CF=
3
2
,求
AB.
F
E
D
C
B
A
1
例 4.如图，四边形 ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠CEF=90°,FG⊥AD 于点 C.
（1）试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明；（2）若点 H 为 CF 的中点，GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若
不垂直，说明理由。
H
G
F
E
D
B
A
例 5.如图，在矩形 ABCD 中，AD=
√
2
AB，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，DH⊥AE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F，
连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论中，正确的有（ ）
①AD=AE；②∠AED=∠CED；③ OE=OD；④ BH=HF；⑤ BC-CF=2HE.
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
例 6.如图，△ABC 中，AB>AC,AD、AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作 CG⊥AD 于点 F，交 AB 于点 G，连接 EF,
则① EF//AB；② 2∠BCG=∠ACB-∠ABC；③ 2EF=AB-AC；④ AB-AC<2AE<AB+AC，其中正确的是（ ）
A.①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①③④
G
F
E
D
C
B
A
例 7.如图 1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC,AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点 E 在 AB 上，F 是线段 BD 的中点，连接
CE,FE.（1）请探究线段 CE 与 FE 间的数量关系；
（2）将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转，使△AED 的一边 AE 恰好与△ACB 的边 AC 在同一条直线上（如图 2），
连接 BD，取 BD 的中点 F，问（1）中的结论是否仍成立，并说明理由。
2
（3）将图 1 的的△AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度（如图 3），连接 BD，取 BD 的中点 F，请直接写出线段 CE 与
FE 间的数量关系。
A
B
C
D
E
F
3图
A
B
C
D
E
F
2图
1图
F
E
D
C
B
A
【答案详解】
例 1.【解析】
利用菱形性质、等腰三角形“三线合一”性质及三角形全等解题。
如图，延长 GP 交 DC 于点 H，
∵P 是线段 DF 的中点，
∴FP=DP，
由题意可知 DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG 是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴PG：PC=
√
3
.
3
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