高一数学培优对点题组专题突破第五章 三角函数（考点与题型解析）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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第五章 三角函数章末复习与题型解读
一、本章知识体系
二、考点与题型解读
考点一 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
方法剖析
（1）利用 sin2α＋cos2α＝1可以实现 α的正弦、余弦的转化，利用＝tan α可以实现角 α弦切互化.
（2）关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，（sin α＋cos α）2＝
（sin α－cos α）2＋4sin αcos α.
（3）sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α的齐次式或含有 sin2α，cos2α及
sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
【例 1】(1)已知 sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则＝________.
(2)已知 f(α)＝.
①化简f(α)；
②若f(α)＝，且＜α＜，求 cos α－sin α的值；
③若α＝－，求 f(α)的值．
【解析】(1)　[由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故 tan θ＝－2，则＝＝＝.]
(2)[解]　① f(α)＝＝sin α·cos α.
1
②由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝，
又∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即 cos α－sin α＜0，
cos ∴α－sin α＝－.
③∵α＝－π＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin＝cos·sin＝×＝.
点睛：1．牢记两个基本关系式 sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化
简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知 sin α±cos α的值，可求 cos αsin α.注意应用(cos
α±sin α)2＝1±2sin αcos α.
2．（1）对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成 2kπ±α，π±α，±α，π±α（或
k·±α，k∈Z）的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简.
（2）解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清
除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.
考点二 三角函数式子的化简
考点剖析：（1）一看“角”，一般化异角为同角通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从
而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有
“切化弦”.
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.
【例 2】　化简：（1）（0<θ<π）；
（2）·.
【解析】（1）原式＝
＝＝.
因为 0<θ<π，所以 0<<，所以 cos>0，所以原式＝－cos θ.
（2）原式＝·
＝·
＝·＝.
考点三 三角函数的图象变换问题
【例 3】(1)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲
线C2
B．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲
线C2
C．把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C2
2
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