新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第4讲　第2课时　三角函数的图象与性质(二)

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第2课时　三角函数的图象与性质(二)
考点一　三角函数的周期性与奇偶性(基础型)
借助正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的奇偶性及周期性．
核心素养：逻辑推理、数学运算
(1)函数 f(x)＝2cos2－1是(　　)
A．最小正周期为 π的奇函数
B．最小正周期为 π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数 y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线 y
＝2的某两个交点的横坐标分别为 x1，x2，|x2－x1|的最小值为 π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝　　　　　　 B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
【解析】　(1)因为 f(x)＝2cos2－1
＝cos＝cos＝sin 2x.
所以 T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．
故函数 f(x)是最小正周期为 π的奇函数．
(2)因为函数 y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为 2，且其图象与直线 y＝2的某两个交点的横坐
标分别为 x1，x2，|x2－x1|的最小值为 π，所以函数 y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是 π.
由＝π得ω＝2.
因为函数 y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以 θ＝＋kπ，k∈Z.
又0＜θ＜π，所以 θ＝，故选 A．
【答案】　(1)A　(2)A
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或y＝Atan ωx 的形式，
而偶函数一般可化为 y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正
周期为，函数 y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．
1．下列函数中，最小正周期为 π的奇函数是(　　)
A．y＝sin　　　　 B．y＝cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析：选B．y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函
1
数，符合题意；同理 C，D均不是奇函数．
2．(2020·石家庄市质量检测)设函数 f(x)＝sin
的最小正周期为 π，且 f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
解析：选A．f(x)＝sin，因为 f(x)的最小正周期为 π，所以 ω＝2，所以 f(x)＝sin.f(－x)
＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以 φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以 φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以 φ
＝－，所以 f(x)＝－cos 2x，所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选 A．
考点二　三角函数的对称性(基础型)
正弦、余弦函数图象的对称轴与 x轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方(即波峰
和波谷)取得，对称中心的横坐标均在三角函数值为 0的地方(即平衡位置)取得．
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线 x＝对称，它的最小正周期为 π，则函数
f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　由题意可得＝π，所以 ω＝2，
可得 f(x)＝Asin(2x＋φ)，
再由函数图象关于直线 x＝对称，
故f＝Asin＝±A，
故可取 φ＝－.
故函数 f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，
可得 x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.
所以函数 f(x)图象的一个对称中心是.
【答案】　B
三角函数图象的对称轴和
对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合 y＝sin x图象的对称轴
和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得 x＝，k∈Z，即对
称轴方程；令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得 x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为 0)．对
于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意 y＝Atan(ωx＋φ)的图象
无对称轴)．
2
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则
ω＝(　　)
A．2 B．
C．1 D．
解析：选A．依题意得函数 f(x)的最小正周期 T＝＝2×(－)＝π，解得 ω＝2，选A．
2．已知函数 f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线 x＝对称
B．f(x)的周期为
C．(π，0)是f(x)的一个对称中心
D．f(x)在区间上单调递减
解析：选A．f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，则f＝|sin π|＝0，则f(x)的图象不
关于直线 x＝对称，故A错误；函数周期 T＝×＝，故B正确；f(π)＝|sin 2π|＝0，则(π，0)
是f(x)的一个对称中心，故C正确；当 x∈时，2x∈，此时 sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，
故D正确．
考点三　三角函数的图象与性质的综合问题(综合型)
此类问题常与三角恒等变换综合考查，其思路为：先将三角函数式转化为 y＝Asin(ωx
＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等．
已知函数 f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
【解】　(1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－
(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
所以 f(x)的最小正周期 T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为 x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.
故f(x)的最小值为 0，最大值为.
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将 y＝f(x)化为 y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形
式，再借助 y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
　已知函数 f(x)＝2sin.
(1)求函数的最大值及相应的 x值的集合；
3
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