新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第5讲　离散型随机变量及其分布列

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第5讲　离散型随机变量及其分布列
一、知识梳理
1．离散型随机变量
(1)随机变量
特点：随着试验结果的变化而变化的变量．
表示：常用字母 X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量的特点
所有取值可以一一列举出来．
2．离散型随机变量的分布列
(1)
定义：若离散型随机变量
X
可能取的不同值为
x1
，
x2
，…，
xi
，…，
xn
，
X
取每一个
值
xi(i
＝
1
，
2
，…，
n)
的概率
P(X
＝
xi)
＝
pi
，则下表
X x1x2…xi…xn
P p1p2…pi…pn
称为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列，有时也用等式 P ( X ＝ x i) ＝
pi， i ＝ 1 ， 2 ， … ， n
表示 X的分布列．
(2)性质：
①pi≥ 0 ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ) ；②∑pi＝1.
3．常见的两类特殊分布列
(1)两点分布
若随机变量
X
服从两点分布，则其分布列为
X0 1
P1 － p p
其中 p＝P ( X ＝ 1) 称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则 P(X＝k)
＝，k＝0，1，2，…，m，即：
X0 1 …m
P…
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布．
常用结论
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为 1可求参数的值．
(2)随机变量 ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的
1
概率．
二、教材衍化
1．设随机变量 X的分布列如下：
X1 2 3 4 5
P p
则p＝________．
解析：由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
所以 p＝1－＝.
答案：
2．有一批产品共 12 件，其中次品 3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出
的次品数 X的所有可能取值是________．
解析：因为次品共有 3件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0，1，2，3.
答案：0，1，2，3
3．设随机变量 X的分布列为
X1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由＋m＋＋＝1，解得 m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(
)
(4)从4名男演员和 3名女演员中选出 4人，其中女演员的人数 X服从超几何分布．(
)
(5)
由下表给出的随机变量
X
的分布列服从两点分布．
(
　　
)
X2 5
P0.3 0.7
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)随机变量的概念不清；
(2)超几何分布类型掌握不准；
(3)分布列的性质不清致误．
1．袋中有 3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到 1个白球　　　　 B．至多取到 1个白球
2
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C．A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值 2，并不随机；C项是
随机变量，可能取值为 0，1，2.故选 C．
2．一盒中有 12 个乒乓球，其中 9个新的、3个旧的，从盒中任取 3个球来用，用完后
装回盒中，此时盒中旧球个数 X是一个随机变量，则 P(X＝4)＝________．
解析：{X＝4}表示从盒中取了 2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.
答案：
3．设某项试验的成功率是失败率的 2倍，用随机变量 X去描述 1次试验的成功次数，
则P(X＝0)＝________．
解析：由已知得 X的所有可能取值为 0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X
＝0)＝1，得P(X＝0)＝.
答案：
考点一　离散型随机变量的分布列的性质(基础型)
在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．
核心素养：数学抽象
设离散型随机变量
X
的分布列为
X0 1 2 3 4
P0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)P(1＜X≤4)．
【解】　由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得 m＝0.3.
(1)2X＋1的分布列：
2X＋11 3 5 7 9
P0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.
【迁移探究】　(变问法)在本例条件下，求|X－1|的分布列．
解：|X－1|的分布列：
|X－1| 0 1 2 3
P0.1 0.3 0.3 0.3
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为 1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值
3
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