4.5.1 函数的零点与方程的解-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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4.5.1 函数的零点与方程的解

【学习目标】

课程标准学科素养

1．结合二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程间的关系，能判断一元二

次方程根的存在性及根的个数；

2．了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根

的个数；

3．能够利用零点的存在解决含参问题．

1.数形结合

2.数学运算

3.逻辑推理

【自主学习】

1.函数的零点

(1)函数 f(x)的零点是使 f(x)＝0的__ __.

(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．

思考 1：(1)函数的零点是点吗？

(2)函数的零点个数、函数的图象与 x轴的交点个数、方程 f(x)＝0根的个数有什么关系？

2.函数的零点存在定理

(1)条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__ __，f(a)f(b)<0；

(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在 c(∈a，b)使f(c)＝0，这个 c也就是 f(x)＝0的根．

思考 2：(1)函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0 时，能否判

断函数在区间(a，b)上的零点个数？

(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有 f(a)f(b)<0?

【小试牛刀】

(1)函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(a)f(b)>0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上没有零点.(

)

(2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0.(　　)

(3)函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上只有一个

零点. (　　)

【经典例题】

题型一　求函数的零点(方程的根)

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－x2－4x－4；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝4x＋5；

(4)f(x)＝log3(x＋1)．

总结: 函数零点的求法

(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：与函数 y＝f(x)的图象联系起来，图象与 x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

[跟踪训练]1 (1)求下列函数的零点：

①f(x)＝x2－2x－3零点为__ _；

②g(x)＝lgx＋2零点为__ __.

(2)已知－1和4是函数 f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则 f(1)＝__ __.

题型二　判断零点所在的区间

例2 f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

[跟踪训练]2 函数 f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1)　　 B．(－1,0)

C．(0,1)　　 D．(1,2)

题型三　函数零点个数的判断

例3 函数 f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点 x1，x2，且 x1<x2，则(　　)

A．x1<2,2<x2<5 B．x1>2 且x2>5

C．x1<2，x2>5 D．2<x1<5，x2>5

[跟踪训练]3 若x0是方程()x＝x的根，则 x0属于区间( 　)

A．(，1) B．(，)

C．(，) D．(0，)

题型四　一元二次方程根的分布问题

例4 已知函数 f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数 m的值；

(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求 m的取值范围．

[跟踪训练]4 函数 f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数 a的取值范围．

【当堂达标】

1．函数 f(x)＝4x－6的零点是(　　)

A．　　 B．(，0)

C．　　 D．－

2．函数 f(x)＝x－2＋log2x，则 f(x)的零点所在区间为(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

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