2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题06正弦定理、余弦定理和解斜三角形复习与检测

3.0 envi 2025-02-10 23 4 929.95KB 15 页 3知币
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学习目标
1.掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
2.正余弦定理及三角形面积公式．
一.3.掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
知识梳理
重点 1
正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径 ，
即
a
sin A=b
sin B=c
sin C=2R
（其中 R 是三角形外接圆的半径）
2.变形：1） ．
2）化边为角： ；
a
b=sin A
sin B;
b
c=sin B
sin C;
a
c=sin A
sin C;
3）化边为角：
a=2Rsin A , b=2Rsin B , c=2Rsin C
4）化角为边：
sin A
sin B=a
b;
sin B
sin C=b
c;
sin A
sin C=a
c;
5）化角为边：
sin A=a
2R,sin B=b
2R,sin C=c
2R
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
　　　 ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
例：已知角 B,C,a，
解法：由 A+B+C=180o ，求角 A,由正弦定理
b
c=sin B
sin C;
a
c=sin A
sin C;
求出 b
专题 06 正弦定
理、余弦定理
和解斜三角形
复习与检测
与 c
　　　 ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边 a,b,A,
解法：由正弦定理
a
b=sin A
sin B
求出角 B,由 A+B+C=180o 求出角 C，再使用正弦定理
a
c=sin A
sin C
求出 c 边
4.△ABC 中，已知锐角 A，边 b，则
①
a<bsin A
时，B 无解；
②
a=bsin A
或
a≥b
时，B 有一个解；
③
bsin A<a<b
时，B 有两个解。
如：①已知
A=60Ο,a=2, b=2
√
3
,求
B
(有一个解)
② 已知
A=60Ο,b=2, a=2
√
3
,求
B
(有两个解)
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
重点 2
三角形面积
1.
SΔ ABC=1
2ab sin C=1
2bc sin A=1
2ac sin B
2.
SΔ ABC=1
2(a+b+c)r
,其中
r
是三角形内切圆半径.
3.
SΔ ABC=
√
p(p−a)( p−b)( p−c)
, 其中
p=1
2(a+b+c)
,
4.
SΔ ABC=abc
4R
,R 为外接圆半径
5.
SΔ ABC=2R2sin Asin Bsin C
,R 为外接圆半径
重点 3
余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的 2 倍，即
A
b
a2=b2+c2−2bc cos A
b2=a2+c2−2ac cos B
c2=a2+b2−2ab cos C
2.变形：
cos A=b2+c2−a2
2bc
cos B=a2+c2−b2
2ac
cos C=a2+b2−c2
2ab
注意整体代入，如：
a2+c2−b2=ac ⇒cos B=1
2
3．利用余弦定理判断三角形形状：
设 、 、 是 的角 、 、 的对边，则：
①若， ，所以 为锐角
②若
c2+b2=a2⇔A为直角
③若 ， 所以 为钝角，则 是钝角三角形
例题分析
例1．在 中，角 A，B，C所以对的边分别为 a，b，c，若 ， 的面积
为 ， ，则 （ ）
A．3 B． 或 C．D． 或 3
【答案】D
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