2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题17复数复习与检测

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学习目标

1.掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，

2.会进行复数的四则运算法则，会求复数的平方根，

3.会利用 1 的平方根求复数的立方根。会求复数的模，

4.会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论

z⋅z=|z|

的结论，

5.会求复数的模的最大值与最小值。

6.会在复数集内解实系数一元二次方程。

知识梳理

重点 1

复数的有关概念

内容意义备注

复数的

概念

形如 a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复

数，其中实部为 a，虚部为 b

若b＝0，则 a＋bi为实数；若 a＝

0且b≠0，则 a＋bi为纯虚数

复数

相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d

实部与实部、虚部与虚部对应相

等

共轭

复数

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－

d(a，b，c，d∈R)

实数的共轭复数是它本身

复平面

建立平面直角坐标系来表示复数

的平面叫做复平面，x轴叫实

轴，y轴叫虚轴

实轴上的点都表示实数；除了原

点外，虚轴上的点都表示纯虚

数，各象限内的点都表示虚数

复数

的模

设OZ对应的复数为 z＝a＋bi，则

向量OZ的长度叫做复数 z＝a＋bi

的模

|z|＝|a＋bi|＝

复数的几何意义

复数集 C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C与复平面内所有以原点 O为

起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数 z＝a＋bi复平面内的点□Z ( a ， b ) (a，b∈R)．

(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.

专题 17 复数复

习与检测

复数代数形式的四则运算

(1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

运算名称符号表示语言叙述

加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋

(b±d)i

把实部、虚部分别相加减

乘法 z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad

＋bc)i

按照多项式乘法进行，并把 i2换成

－1

除法＝＝＝＋i(c＋di≠0)

把分子、分母分别乘以分母的共轭

复数，然后分子、分母分别进行乘

法运算

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋

(z2＋z3)．

(3)复数乘法的运算定律

复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z1，z2，z3∈C，有 z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝

z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

(4)复数加、减法的几何意义

① 复数加法的几何意义：若复数 z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数 z1＋z2是OZ1＋OZ2

所对应的复数．

② 复数减法的几何意义：复数 z1－z2是OZ1－OZ2即Z2Z1所对应的复数．

模的运算性质：①|z|2＝|z|2＝z·z；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.

重点 2

实系数的一元二次方程：

设一元二次方程为（、、且）。

因为，所以原方程可以变形为。

配方得，，即

。

（1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根

；

（2）若，即，此时方程有两个相等的实数根；

（3）若，即，方程没有实数根。

因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根

。

因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。

特别地，当时，实系数一元二次方程（、、且

）在复数集中有一对互相共轭的虚数根

。

注：虚根成对定理

若虚数是实系数一元（）次方程

（）

的根，那么也是这个方程的根。

例题分析

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