2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题11平面向量的概念复习与检测

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学习目标
1.理解平面向量的有关概念
2.向量的方向，
3.向量的模，
4.单位向量，
5.零向量
知识梳理
重点 1
向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。
表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.
用小写字母
⃗a
，
⃗
b
…
或用
⃗
AB
，
⃗
BC
，…表示.
注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.
重点 2
模：向量的长度叫向量的模，记作
|⃗a|
或
⃗
|AB|
.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作
⃗
0
；零向量的方向不确定.
注意：0和
⃗
0
是不同，0是一个数字，
⃗
0
代表一个向量，不要弄混.
单位向量：长度为 1个长度单位的向量叫做单位向量.
⃗a0=⃗a
|⃗a|
注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。
重点 3
共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向
量 平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量
，若存在非零常数
λ
使
⃗a=λ⃗
b
是
⃗a∥⃗
b
的充
要条件.
相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
专题 11 平面向
量的概念复习
与检测
1
例题分析
例1.已知两个非零向量
⃗
a，
⃗
b
不平行，
（1）如果
⃗
AB=
⃗
a+
⃗
b，
⃗
BC=2
⃗
a+8
⃗
b，
⃗
CD
=
3(
⃗
a −
⃗
b)
，求证 A，B，D三点共线；
（2）试确定实数 k，使 k
⃗
a+
⃗
b和
⃗
a+k
⃗
b
平行．
【答案】 （1）解：∵
⃗
AB=
⃗
a+
⃗
b，
⃗
BC =2
⃗
a+8
⃗
b，
⃗
CD
=
3(
⃗
a −
⃗
b)
，
∴
⃗
AD
=
⃗
AB
+
⃗
BC
+
⃗
CD
=6
⃗
a
+6
⃗
b
=6
⃗
AB
，
∴
⃗
AD
∥
⃗
AB
，
A∴，B，D三点共线
（2）解：设 k
⃗
a+
⃗
b和
⃗
a+k
⃗
b
平行，
∴
k
1=1
k
，
k2=1 k=±1∴，
k=±1∴时，k
⃗
a+
⃗
b和
⃗
a+k
⃗
b
平行
例2.已知
⃗
a
=（x，1），
⃗
b
=（4，﹣2）．
（Ⅰ）当
⃗
a
∥
⃗
b
时，求|
⃗
a
+
⃗
b
|；
（Ⅱ）若
⃗
a
与
⃗
b
所成角为钝角，求 x的范围．
【答案】解：（Ⅰ）当
⃗
a
∥
⃗
b
时，有﹣2x 4=0﹣ ，解得：x= 2﹣ ，
故
⃗
a
+
⃗
b
=（2，﹣1），所以|
⃗
a
+
⃗
b
|=
√
5
；
（Ⅱ）由
⃗
a
•
⃗
b
=4x 2﹣ ，且
⃗
a
与
⃗
b
所成角为钝角，则满足 4x 2﹣ ＜0且
⃗
a
与
⃗
b
不反向，由第（Ⅰ）
问知，当 x= 2﹣ 时，
⃗
a
与
⃗
b
反向，
故x的范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，
1
2
）．
跟踪练习
1.
i
为虚数单位，
z1=sin π
5+icos π
5
，
z2=cos 2π
5+isin 2π
5
，则
¿z1z2∨¿
（¾¾¾ ）
A. 1 B. 2 C.
√
2
D.
√
2
2
2.已知向量
⃗
a
、
⃗
b
满足
¿
⃗
a∨¿1
，
¿
⃗
b∨¿2
，向量
⃗
a
，
⃗
b
的夹角为
π
3
，则
¿2
⃗
a −
⃗
b∨¿
的值为
（¾¾¾ ）
2
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