高二数学新教材知识讲学专题01 空间向量及其运算（知识精讲）（原卷版）

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专题一 空间向量及其运算
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
空间向量及其运算
空间向量的概念 空间向量的概念
空间向量的线性运算 向量的加减运算
共线向量定理、共面向量定理及
推论
判断空间向量共线、共面
空间向量夹角 夹角的范围与定义
空间向量的数量积 数量积的运算
用向量的数量积解决立体几何问
题
利用空间向量爱夹角、距离
二.学法指导
1．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
① 零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线
向量不具备传递性．
② 单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1.
③ 两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向
也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.
2．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反
向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量 、
差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
3．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，
将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
4.证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点
P
，
A
，
B
可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数
λ
，使PA＝
λ
PB成立．
(2)对空间任一点
O
，有OP＝OA＋
t
AB(
t
∈R)．
(3)对空间任一点
O
，有OP＝
x
OA＋
y
OB(
x
＋
y
＝1)．
5.解决向量共面的策略
（1）若已知点
P
在平面
ABC
内，则有AP＝
xAB
＋
yAC
或OP＝
xOA
＋
yOB
＋
zOC
x
＋
y
＋
z
＝1，
1
然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
（2）证明三个向量共面 或四点共面 ，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量 
的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
6.在几何体中求空间向量的数量积的步骤
（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.
（4） 代入公式
a·b
＝|
a
||
b
|cos〈
a
，
b
〉求解.
7.用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为 0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
8．利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，
但要注意向量夹角的范围；②先求
a
·
b
，再利用公式 cos〈
a
，
b
〉＝求出 cos〈
a
，
b
〉的值，最后
确定〈
a
，
b
〉的值．
(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：
① 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
② 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③ 利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④ 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上
绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．
9．求两点间的距离或线段长的方法
(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
(2)因为
a
·
a
＝|
a
|2，所以|
a
|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可
以推广为|
a
±
b
|＝＝.
(3)可用|
a
·
e
|＝|
a
||cos
θ
|(
e
为单位向量，
θ
为
a
，
e
的夹角)来求一个向量在另一个向量
所在直线上的投影．
三.知识点贯通
知识点 1 空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
① 几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a的起点是 A，终点是 B，也可记作：AB，
其模记为| a | 或| AB | .
2．几类常见的空间向量
2
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