河南省郑州市2022届高三上学期第一次质量预测（一模）（1月）数学（理）评分参考

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郑州市 2022 年高三第一次质量预测
理科数学评分参考
一、选择题
1 5.BCBBD
6 10.CCADB
11 12.DC
二、填空题
13.4; 14.
3;
15.
2;
16.①④.
三、解答题
17.（12 分）
解：①：因为
1
S
、
2
S
、
4
S
成等比数列，则
2
2 1 4
S S S
，即
，
因为
0d
，可得
1
2da
. ......................2 分
②
41
4 6 16S a d  
即
1
2 3 8ad
.
③
 
88
41Sa
，可得
 
11
8 28 4 7 1a d a d  
，可得
11a
.......................3 分
若选①②，则有
1
1
2
2 3 8
da
ad

，可得
11
2
a
d
，则
 
11 2 1
n
a a n d n 
；
若选①③，则
1
22da
，则
 
11 2 1
n
a a n d n 
；
若选②③，则
1
2 3 2 3 8a d d   
，可得
2d
，所以，
 
11 2 1
n
a a n d n 
.········6分
（2）解：
 
18442
n n n
b b a nn
 
，且
13b
,
所以，当
2n
时，则有
 
1 2 1 3 2 1n n n
b b b b b b b b
 
 
2
8 4 12 1
3 12 20 8 4 3 4 1
2
nn
nn
 
   
，
13b
也满足
2
41
n
bn
，故对任意的
n
N
，
2
41
n
bn
，
···························9分
则
 
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1
n
b n n n n

 

 

，
所以，
1 1 1 1 1 1 1 1
11
2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1
n
n
Tn n n n

 
   
 

 
 

·········12
分
18（12 分）
解：双减政策后运动时间的的众数是 65，双减政策前众数是 55，说明双减政策后，大多数
学生的运动时间都变长；（平均数、中位数等都可以）································4分
（1）若采用甲方案，记设备正常运行时间为
X
（单位是月），则
X
的取值有
87、
，
4
3
)7( XP
，
4
1
)8( XP
，
则
X
的分布列：
X
7
8
P
4
3
4
1
3 1 29
( ) 7 8 .
4 4 4
EX  
它与成本之比为
40
29
55
)(
XE
·························································7分
若采用乙方案，记设备正常运行时间为
Y
（单位是月），则
Y
的取值有
876 、、
,
4
1
)6( YP
，
8
5
)7( YP
，
1
( 8) ,
8
PY
Y
6
7
8
P
4
1
8
5
8
1
1 5 1 55
( ) 6 7 8 .
4 8 8 8
EY    
它与成本之比为
( ) 55 .
5 2 2 72
EY

····················································11 分
55 29 ,
72 40
方案乙性价比更高. ············································12 分
19.（12 分）
证明：在矩形
ABCD
中，连接
BD
，记
,AE BD F
6, 3.BD AE 
/ / ,AB CD
2.
AF BF AB
FE FD DE
 
2 3 3 2 6 6
, , , .
3 3 3 3
AF FE BF FD 
2 2 2 2 2 2
, , 2 .AF FD AD FA FB AB AF FE 
FEAFFBAEFDAE 2,,
················································2分
在四棱锥
ABCED
中，线段
AE
取点
O
满足
2,AO OE
, , ,AE OP AE OB OP OB O 
.AE BOP平面
··································································4分
,BP BOD平面
.AE BP
····················································6分
（2）
,,PO AE APE ABCE APE ABCE AE  平面 平面 ，平面 平面
.PO ABCE平面
OA OB OP x y z以 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,
2 3 2 6 6 3
( ,0,0), (0, ,0), (0,0, ), ( ,0,0).
3 3 3 3
A B P E
2 3 2 6
2 ( , ,0).
33
AB EC  
2 3 6
( , ,0).
33
C
2 3 6 2 3 6 6 3 6
( , ,0), ( , , ), ( ,0, ),
3 3 3 3 3 3 3
BC CP PE    
设平面
BCP
的法向量为
1( , , ),n x y z
1
1
2 3 6 0,
0, 33
0, 2 3 6 6 0.
3 3 3
xy
BC n
CP n x y z
 





  
1( 1, 2,2 2).n  
·······················································8分
设平面
PCE
的法向量
2( , , ),n x y z
2
2
36
0,
0, 33
0. 2 3 6 6 0.
3 3 3
xz
PE n
CP n x y z
 





  
)2,2,2(
2n
····························································10 分
设二面角
BCPE
的大小为
,
12
12
2 2 4 22
cos .
11
1 2 8 4 2 2
nn
nn

 
   
摘要：

郑州市2022年高三第一次质量预测理科数学评分参考一、选择题二、填空题13.4;14.15.16.①④.三、解答题17.（12分）解：①：因为、、成等比数列，则，即，因为，可得.......................2分②即.③，可得，可得.......................3分若选①②，则有，可得，则；若选①③，则，则；若选②③，则，可得，所以，.········6分（2）解：，且,所以，当时，则有，也满足，故对任意的，，···························9分则，所以，·········12分18（12分）解：双减政策后运动时间的的众数是65，双减政策前众...

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