专题2.5 指数与指数函数（原卷版）

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第二篇函数、导数及其应用

专题 2.5 指数与指数函数

【考纲要求】

1. 了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

4．知道指数函数是一类重要的函数模型．

【命题趋势】

1. 指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查．

2．指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查．

3．指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇

偶性、最值等

【核心素养】

本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养

【素养清单•基础知识】

(1)根式的性质

①()n＝a(a使有意义)．

②当n是奇数时，＝；

当n是偶数时，＝|a|＝

(2)分数指数幂的意义

分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．

①a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．

②a＝＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．

③0的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0，否则不能用性质来运算．

(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．

2．指数函数的概念

函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是 R，a是底数．

形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0 且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

3．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质

底数 a>1 0<a<1

图象

性

质

定义域为 R，值域为(0，＋∞)

图象过定点(0,1)

当x>0 时，恒有 y>1；

当x<0 时，恒有 0<y<1

当x>0 时，恒有 0<y<1；

当x<0 时，恒有 y>1

在定义域 R上为增函数在定义域 R上为减函数

注意

指数函数 y=ax(a>0,且a≠1）的图象和性质与 a的取值有关，应分 a>1 与0<a<1 来研

究.

【素养清单•常用结论】

指数函数图象的特点

(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

(2)函数 y＝ax与y＝x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y轴对称．

(3)底数 a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a>1 时，指数函数的图象“上升”；当

0<a<1 时，指数函数的图象“下降”．

【真题体验】

【2019 年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数， (a>0，且 a≠1)的图象可能是（

）

【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满

足m2−m1=，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等

是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A．1010.1 B．10.1

C．lg10.1 D．10−10.1

【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】

2019 年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，

我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通

讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运

行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为R，

点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： .设

，由于的值很小，因此在近似计算中，则 r的近似值为（）

A． B．

C． D．

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