第3章专题2 椭圆的几何性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

3.0 envi 2025-02-11 23 4 582.46KB 12 页 3知币
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椭圆的几何性质
考向一 椭圆的简单几何性质
1、已知椭圆 ，则(　　)
A． 与 顶点相同 B． 与 长轴长相同
C． 与 短轴长相同 D． 与 焦距相等
【答案】D
2、已知
F1(−1,0), F2(1,0)
是椭圆 的两个焦点,过
F2
且垂直于 轴的直线交于 两点,
且,则 的方程为　(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
3、椭圆 和 一定具有（ ）
A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长轴长
【答案】A
4、设椭圆 的右焦点为
F1
，直线 ，若过点
F1
且垂直于
轴的弦的长等于点
F1
到
l1
的距离，且
b=
√
3
，则
_____
【答案】2
1
5、椭圆＋＝1上的一点 P到两焦点的距离的乘积为 m，当 m取最大值时，点 P的坐标是__
______.
【答案】　(－3，0)或(3，0)
【解析】　记椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点 P位于椭圆的短轴的顶点处时，等
号成立，即 m取得最大值 25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
6、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于
A，B两点，若 的最大值为 5，则 b的值为（）
A.1 B. C. D.
【答案】C
考向二 焦点三角形的周长
1、已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点且椭圆的另
外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）
A．B．C．D．12
答案：C
解析：由椭圆方程可知 a=
√
3
，设椭圆的另一个焦点为 F,如图，所以|AB|+|BF|=|CA|+|CF|=4
√
3
.
2
由此可得△ABC 的周长为：|AB|+|BC|+|CA|=|AB|+|BF|+|CA|+|CF|=4
√
3
2、设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上的一点，且 到两焦点的距离之
差为 2，则 是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由椭圆的方程，可得 ，所以 ，
则 ，
由椭圆的定义得 ，又 到两焦点的距离之差为 ，
不妨设 ，则 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 是直角三角形，故选 A．
备注：本题主要考查了椭圆定义及标准方程的应用，三角形形状的判断问题，解答的关键
在于运用椭圆的定义列出方程组，得到三角形三边的长度，即可确定三角形的形状．
3
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