2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题

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2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛
暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题(每小题 8 分，共 64 分)
1.设 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合 ，若
，则集合 ________.
答案：
提示：设 ，其中
则 解得 ，从而 。
2.函数
f
(
x
)
=(
√
1+x+
√
1− x − 3)(
√
1− x2+1)
的最小值为
m
，最大值为
M
，则
M
m=¿
_____
___.
答案：
3−
√
2
2
提示：设
t=
√
1+x+
√
1− x
,则
t ≥ 0
且
，∴
t∈
[
√
2,2
]
.
f
(
x
)
=
(
t −3
)
·t2
2
，令
g
(
t
)
=1
2t2
(
t −3
)
，
t∈[
√
2,2]
.
令
g'
(
t
)
=0
得
t=2
，
g
(
√
2
)
=
√
2−3
，
g
(
2
)
=−2
，
∴
M=g
(
t
)
max=
√
2−3
，
m=g
(
t
)
min=−2
，∴
M
m=3−
√
2
2
.
3.
tan15o+2
√
2 sin 15o=¿
________.
答案：
1
提示：
tan15o+2
√
2 sin 15o=sin 15o
cos 15o+2
√
2sin 15o=si n 15o+
√
2sin 30o
cos 15o=si n15o+
√
2 sin
(
45o−15o
)
cos 15o
¿si n 15o+
√
2(sin 45ocos 15o−cos 45osin 15o)
cos 15o=1
.
4.已知向量
⃗
a
，
⃗
b
，
⃗
c
满足
|
⃗
a
|
∶
|
⃗
b
|
∶
|
⃗
c
|
=1∶k∶3¿
，且
⃗
b −
⃗
a=2(
⃗
c −
⃗
b)
，若
α
为
⃗
a
，
⃗
c
的
夹角，则
cos α=¿
________.
1
答案：
−1
12
提示：∵
⃗
b −
⃗
a=2(
⃗
c −
⃗
b)
∴
⃗
b=1
3
⃗
a+2
3
⃗
c
∴
⃗
b2=1
9
⃗
a2+4
9
⃗
c2+4
9
⃗
a ·
⃗
c
∵
|
⃗
a
|
∶
|
⃗
b
|
∶
|
⃗
c
|
=1∶k∶3
∴
k2=1
9+4+4
3cos α∈(2,6)
又∵
k∈Z+¿¿
∴
k=2
∴
cos α=−1
12
.
5.已知复数
z1
，
z2
，
z3
使得
z1
z2
为纯虚数，
|
z1
|
=
|
z2
|
=1
，
|
z1+z2+z3
|
=1
，则
|
z3
|
的最小值是
________.
答案：
提示：设
z=z1+z2+z3
，则
¿z∨¿1
，由已知
z1
z2
+( z1
z2
)=0
∴
z1z2+z2z1=0
∴
|
z1+z2
|
2=
(
z1+z2
) (
z1+z2
)
=z1z1+z2z2+z1z2+z1z2=2
∴
|
z1+z2
|
=
√
2
∴
|
z3
|
=
|
z1+z2− z
|
≥
|
z1+z2
|
−
|
z
|
=
√
2−1
。 当 时，最小
值能取到。
6.已知正四面体可容纳 10 个半径为 1 的小球，则正四面体棱长的最小值为________.
答案：
4+2
√
6
提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为
a
，此时，一、二、三层分别有 1、3、6 个小球，
且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为
1∶3
，所以正四面体的高
ℎ=
√
2
3a=3+
√
2
3·2+
√
2
3·2+1
, 得
a=4+2
√
6
7. 设 是 定 义 在 上 的 单 调 函 数 ， 对 任 意 有 ，
，则 .
答案：
提示：由题意存在 使 。又因 是 上的单调函数，这样的
是唯一的，再由 得
2

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