高考数学微专题复习（新高考地区专用）专题41 概率统计与函数、不等式的综合（原卷版）

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专题 41 概率统计与函数、不等式的综合
一、题型选讲
题型一 、概率与函数的交汇
例1、（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设
02
3
a 
，随机变量
X
的分布列是：
X
1
0 1
P
a
2
3a
1
3
则当
a
在
2
03
 
 
 
，
内增大时（ ）
A．
增大 B．
减小 C．
 
D X
先增大后减小 D．
 
D X
先减小后增大
例2、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之
前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
p(0<p<1)
，且各
件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2件不合格品的概率为
f(p)
，求
f(p)
的最大值点
p0
．
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2件不合格品，以（1）中确定的
p0
作为
p
的值．已知每件
产品的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X
，求
EX
；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
1
例3、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产
 
5 15x x 
万件的该种产品所需要的总成本
 
3
2
23 16 30
9 10
x
C x x x 
（万元），依据产品尺寸，
产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在
25.26, 25.30
，
25.30, 25.34
，
25.34, 25.38
，
25.38, 25.42
，
25.42, 25.46
，
25.46, 25.50
，
 
25.50, 25.54
（单位：
mm
）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.
产品的品质情况和相应的价格
m
（元/件）与年产量
x
之间的函数关系如下表所示.
产品品质 立品尺寸的范围 价格
m
与产量
x
的函数关系式
优
25.34, 25.46
34m x 
中
25.26, 25.34
325
5
m x 
差
 
25.46, 25.54
320
5
m x 
2
以频率作为概率解决如下问题：
（1）求实数
a
的值；
（2）当产量
x
确定时，设不同品质的产品价格为随机变量
，求随机变量
的分布列；
（3）估计当年产量
x
为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.
例4、（广东省 2021 届高三上学期综合能力测试） 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，
这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班
的员工中随机抽取了 2000 人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步
的步数均在 3千步至 21 千步之间）．将样本数据分成[3，5），[5，7），[7，9），[9，11)，[11，13)，
[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布
估计总体的频率分布．
(1)求图中 a的值；
(2)设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）
近似服从正态分布
N(μ , σ2)
，其中
μ
近似为样本的平均
数（各区间数据用中点值近似计算），取
σ=3 .64
，若该
企业恰有 10 万人正常上班的员工，试估计这些员工中日
健步步数 Z位于区间[4.88,15.8]范围内的人数；
(3)现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有 k名员工
的日健步步数在 13 千步至 15 千步内的概率为
P(X=k)
，
其中
k=0,1,2 ,⋯,20
，当
P(X=k)
最大时，求 k的值，
参考数据：若随机变量
ξ
服从正态分布
N(μ , σ2)
，则
P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0 .6827
，
P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0 . 9545
，
P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0. 9973
.
3
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