高一数学专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（知识精讲）（原卷版）

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专题十四任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式知识精讲

一知识结构图

内容考点关注点

任意角与弧度制

三角函数的概念

诱导公式

弧度制与角度制的转化角度与弧度的关系

扇形的弧长、面积扇形的弧长、面积公式

任意角的三角函数的求值任意角的三角函数的定义

同角三角函数值的求解同角三角函数的基本关系

任意角的三角函数求值、化简诱导公式

二.学法指导

1.象限角的判定方法：

(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．

(2)第一步，将 α写成 α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；

第二步，判断 β的终边所在的象限；

第三步，根据 β的终边所在的象限，即可确定 α的终边所在的象限．

2. 所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以

下四点：

(1)k是整数，这个条件不能漏掉．

(2)α是任意角．

(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如 k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)，k∈Z.

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周

角的整数倍．

3．角度制与弧度制互化的关键与方法

1关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键；

2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；

3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.

4.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里 α必须是弧度制下的角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．

(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．

5.由角 α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：

(1)已知角 α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

① 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角

函数值．

②在α的终边上任选一点 P(x，y)，P到原点的距离为 r(r>0)．则 sin α＝，cos α＝.已知 α的终

边求 α的三角函数时，用这几个公式更方便．

(2)当角 α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，

则需分类讨论．

6.判断三角函数值在各象限符号的攻略：

1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；

2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；

3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.

7、利用诱导公式一进行化简求值的步骤

1定形：将已知的任意角写成 2kπ＋α的形式，其中 α∈[0，2π，k∈Z.

2转化：根据诱导公式，转化为求角 α的某个三角函数值.

（）求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.

8、利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：

1已知角 α的某一种三角函数值，求角 α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是

先选用平方关系，再用商数关系.

2若角 α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角 α所在的象限不

确定，应分类讨论，一般有两组结果.

9、sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一

求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

10．已知 tan α＝m，求关于 sin α，cos α的齐次式的值

解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于 sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数

式；(2)因为 cos α≠0，所以可除以 cos α，这样可将被求式化为关于 tan α的表示式，然后代入 tan α

＝m的值，从而完成被求式的求值．

11、三角函数式化简的常用方法

1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.

2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数

次数，达到化简的目的.

12.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右

边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．

13．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧

的应用(分解因式)．

14.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1“负化正”——用公式一或三来转化；

2“大化小”——用公式一将角化为 0°到360°间的角；

3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；

4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.

15.解决条件求值问题的两技巧

1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算

之间的差异及联系.

2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

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