专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)2020年高考数学二轮微专题突破（江苏）

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专题 27 基本不等式中常见的方法求最值

一、例题选讲

题型一、消参法

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解 .解题

过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例 1、(2017 苏北四市期末）. 若实数 x，y满足 xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．

【答案】 8　

【解析】解法 1 因为实数 x，y满足 xy＋3x＝3，所以 y＝－3(y＞3)，

所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当 y－3＝，即 y＝4时取等号，此时 x＝，所以＋的最

小值为 8.

解法 2 因为实数 x，y满足 xy＋3x＝3，所以 y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，

所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即 x＝时取等号，此时 y＝4，所以＋的最小值为

例2、（2013 徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为．

【答案】

【解析】由已知等式得，从而，

，故有最小值 .

题型二、双换元

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的

分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系

例 3、(2015 苏锡常镇、宿迁一调）已知实数 x，y满足 x>y>0，且 x＋y≤2，则＋的最小值为________．

【答案】

【解析】设解得所以 x＋y＝≤2，即 m＋n≤4.设t＝＋＝＋，所以 4t≥(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.即t≥，当且仅

当＝，即 m＝n时取等号．

例4、（2013 徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为．

【答案】

【解析】

所以，

因为

所以

题型三、1的代换

1的代换就是指凑出 1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程

中要特别注意等价变形。

例5、(2019 苏锡常镇调研）已知正实数 a，b满足 a＋b＝1，则的最小值为．

【答案】

【解析】思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本

不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．

当且仅

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