专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）

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专题 16 分解法模型和最短路径问题
类型 1：分解模型
例1．对 33000 分解质因数得 ，则 的正偶数因数的个数是（ ）
A．48 B．72 C．64 D．96
【解析】
的因数由若干个 （共有 四种情况），
若干个 （共有 两种情况），
若干个 （共有 四种情况），
若干个 （共有 两种情况），
由分步计数乘法原理可得 的因数共有 ，
不含 的共有 ，
正偶数因数的个数有 个，
即 的正偶数因数的个数是 ，故选 A.
例2．5400 的正约数有（ ）个
A．48 B．46 C．36 D．38
【解析】
，5400 的正约数一定是由 2的幂与 3的幂和 5的幂相乘的结果，
所以正约数个数为 ．
故选：A．
例3. 30030 能被多少个不同的偶数整除
【解析】
先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取 2,再从
其余 5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为： .
类型 2：最短路径问题
例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只
要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多
1
少种不同走法？（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解析】
如图，①从入口﹣13560﹣﹣﹣﹣﹣出口，
② 从入口﹣13460﹣﹣﹣﹣﹣出口，
③ 从入口﹣1347891060﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣出口，
④ 从入口﹣1 3 4 9 10 6 0﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣出口，
⑤ 从入口﹣23460﹣﹣﹣﹣﹣出口，
⑥ 从入口﹣23560﹣﹣﹣﹣﹣出口，
⑦ 从入口﹣2347891060﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣出口，
⑧ 从入口﹣2 3 4 9 10 6 0﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣出口，
共有 8种，
故选：B．
例2．如图，某城市中， 、 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，
则从 到 不同的走法共有（ ）
2
A．10 B．13 C．15 D．25
【解析】
因为只能向东或向北两个方向
向北走的路有 5条，向东走的路有 3条
走路时向北走的路有 5种结果，向东走的路有 3种结果
根据分步计数原理知共有 种结果，选 C
例3．如图，蚂蚁从 A沿着长方体的棱以 的方向行走至 B，不同的行走路线有( )
A．6条B．7条C．8条D．9条
【解析】
共有 3个顶点与 点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有 2条路径到达 点，所以，蚂蚁从 沿着
长方体的棱以规定的方向行走至 ，不同的行走路线有： （条），故选 A.
例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，
从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解析】
要到 H点，需从 F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到
A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在 B、C、D的圆圈内，B、C、D分别
到F、E、G的路数亦记在圈内，最后 F、E、G各路数之和，即得到至 H的总路数，如下图所示，易得到
17 条路线，故选 D．
3
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