专题14 圆锥曲线中的一类定点问题（解析版）

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高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020 版】
结论十四：圆锥曲线中的一类定点问题
结
论
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点 A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线
lAB 过定点
(
(a2-b2)a
a2+b2,0
)
.同理,当以 AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线 lAB 过定点
(
-(a2-b2)a
a2+b2,0
)
.
(2)对于双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点 A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直
线lAB 过定点
(
(a2+b2)a
a2-b2,0
)
.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为
(
-(a2+b2)a
a2-b2,0
)
.
(3)对于抛物线 y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点 A,B,若
·
⃗
OB
=0,则弦 AB 所在直线过点(2p,0).同理,
抛物线 x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点 A,B,若
⃗
OA
⊥
⃗
OB
,则直线 AB 过定点(0,2p).
解
读
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善
于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化
为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。
典
例
已知椭圆 的离心率为 ，直线 经过椭圆 的左焦点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于点 ， 、 是椭圆 上的两个动点，且它们在 轴的两
侧， 的平分线在 轴上， |，则直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；
若不过定点，请说明理由.
解（1）在直线方程 中令 ，则 ，
1
析
故 ，又 ，故 ，所以 ，所以椭圆标准方程为： .
（2）因为 、 在在 轴的两侧，故 的斜率必存在，
设 的方程为 ， ， ，
因为 在 轴上且 在直线 ，故 .
因为 的平分线在 轴上，所以 ，而 ，
代入整理得到： .
由 可得 ，
所以 ，
所以 ，化简得到 ，
所以对任意的 ，总有 ，故直线 过定点 .
反
思
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关
系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 或 的一元二次方程，再
把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有 或
2
，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定
值、最值问题.
针对训练*举一反三
1．过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ，若弦 的中点分别为 ，则
直线 恒过定点 .
【答案】
【解析】由椭圆得 a2=4,b2=3,则c2=4−3=1，∴椭圆右焦点为 F(1,0)，
设直线 AB 的方程为 x=my+1，m≠0，
则直线 CD 的方程为 ，
联立 AB 方程与椭圆方程,消去 x,得 ，
设,则 ，
.
由中点坐标公式得 ，
将M的坐标中的 m用 代换,得CD 的中点 ， ，
直线 MN 的方程为 ，
3
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