专题13 圆的综合题（解析版）

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专题十三　圆的综合题
【专题解读】圆的综合题在中考中的出现形式以解答题为主，选、填题为辅．常涉及的知
识点有勾股定理、三角函数、全等三角形与相似三角形的性质及判定等．在选、填题中常
运用切线的性质进行计算，涉及求角度、线段长度及三角函数值；解答题中常会考查切线
的判定，结合相似三角形、锐角三角函数求线段的长度，证明角度相等、线段成比例或判
定四边形的形状.
类型一 与三角形结合
（2020•天河区模拟）如图，E为圆 O上的一点，C为劣弧 EB 的中点．CD 切⊙O于
点C，交⊙O的直径 AB 的延长线于点 D．延长线段 AE 和线段 BC，使之交于点 F．
（1）求证：△AFB 和△CEF 都是等腰三角形；
（2）若 BD＝1，CD＝2，求 EF 的长．
【思路点拨】
（1）连接 OC ，如图，利用圆周角定理得到∠EAC＝∠BAC，∠ACB＝90°，则可证明
△ACF≌△ACB，所以∠F＝∠ABC，BC＝CF，利用
^
CE −
^
CB
得到 CE＝CB，则 CE＝CF，
于是可判断△ABF 和△CEF 都为等腰三角形；
（2）连接 BE 交OC 于H，如图，利于切线的性质得 OC⊥CD，设⊙O的半径为 r，则 OC
＝OB ＝r，利用勾股定理得到 r2+22＝ （ r+1 ）2，解得 r
¿3
2
，再根据垂径定理得到
OC⊥BE ，则 BH∥CD ，利用平行线分线段成比例定理计算出 CF
¿3
5
，然后证明 CH 为
△BEF 的中位线，从而得到 EF 的长．
【自主解答】（1）证明：连接 OC，如图，
∵C为劣弧 EB 的中点．∴∠EAC＝∠BAC，
∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠FAC＝∠BAC，AC＝AC，∠ACF＝∠ACB，
1
∴△ACF≌△ACB，∴∠F＝∠ABC，BC＝CF，
∴△ABF 为等腰三角形，∴
^
CE −
^
CB
，
∴CE＝CB，∴CE＝CF，∴△CEF 为等腰三角形；
（2）解：连接 BE 交OC 于H，如图，
∵CD 切⊙O于点 C，∴OC⊥CD，
设⊙O的半径为 r，则 OC＝OB＝r，
在Rt△OCD中，r2+22＝（r+1）2，解得 r
¿3
2
，
∵C为劣弧 EB 的中点，∴OC⊥BE，
∴BH＝EH，∵BH∥CD，
∴
CH
CO
=BD
OD
，即
CF
3
2
=1
1+3
2
，解得 CF
，
∵CF＝CB，HE＝HB，
∴CH 为△BEF 的中位线，∴EF＝2CH
¿6
5
．
1．（2020•南海区一模）如图 1，已知 AB 是⊙O的直径，AC 是⊙O的弦，过 O点作
OF⊥AB 交⊙O于点 D，交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，点 G是EF 的中点，连接
CG．
（1）判断 CG 与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：2OB2＝BC•BF；
（3）如图 2，当∠DCE＝2∠F，DG＝2时，求 DE 的长．
2
解：（1）CG 与⊙O相切，理由如下：如图 1，连接 OC，∵AB 是⊙O的直径，∴∠ACB＝
∠ACF＝90°，
∵点 G是EF 的中点，∴GF＝GE＝GC，
∴∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，∵OA ＝OC ， ∴ ∠ OCA ＝
∠OAC ， ∵ OF⊥AB ， ∴ ∠ OAC+∠AEO ＝90° ， ∴ ∠ OCA+∠GCE ＝90° ， 即
OC⊥GC，∴CG 与⊙O相切；
（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，
∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，
∴
BC
BO
=AB
BF
，即 BO•AB＝BC•BF，
∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC•BF；
（3）如图 2，由（1）知 GC＝GE＝GF，
∴∠F＝∠GCF，∴∠EGC＝2∠F，
又∵∠DCE＝2∠F，∴∠EGC＝∠DCE，
又∵∠DEC＝∠CEG，∴△ECD∽△EGC，
∴
EC
EG
=ED
EC
．∵CE＝3，DG＝2，∴
3
DE+2
=DE
3
，
整理，得：DE2+2DE 9﹣ ＝0，∵DE＞0，∴DE
¿
√
10−
1．
2．（2020•深圳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边 AB 为直径的⊙O交边 BC 于点
D，交边 AC 于点 E．过 D点作 DF⊥AC 于点 F．（1）求证：DF 是⊙O的切线；（2）求
证：CF＝EF；
（3）延长 FD 交边 AB 的延长线于点 G，若 EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径及 CD 的长．
3
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